Cdtrjyty

А́лгебра Кэ́ли — система гиперкомплексных чисел, 8-мерная алгебра над полем вещественных чисел.
Обычно обозначается O{displaystyle mathbb {O} }, поскольку её элементы (числа Кэли) называются иногда октонионами или октавами.

История |

Впервые рассмотрена в 1843 Джоном Грейвсом^[en], приятелем^[1]Уильяма Гамильтона, а двумя годами позже независимо Артуром Кэли.

Конструкция |

Число Кэли — это линейная комбинация элементов {1,i,j,k,l,il,jl,kl}{displaystyle {1,i,j,k,l,il,jl,kl}}.
Каждая октава x может быть записана в форме

x=x0+x1i+x2j+x3k+x4l+x5il+x6jl+x7kl.{displaystyle x=x_{0}+x_{1},i+x_{2},j+x_{3},k+x_{4},l+x_{5},il+x_{6},jl+x_{7},kl.}

с вещественными коэффициентами xi{displaystyle x_{i}}. Октонионы находят применение в физике: например, в СТО и теории струн^[2].
Таблица умножения элементов октавы:

Плоскость Фано для мнемонического запоминания таблицы умножения

Таблица (Кэли) умножения октонионов^[3]

Иногда заменяются буквенным обозначением:

Свойства |

• По теореме Фробениуса, алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной альтернативной алгеброй без делителей нуля.


• Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но неассоциативной и некоммутативной.

Сопряжение и норма |

Пусть дан октонион

x=x0+x1i+x2j+x3k+x4l+x5il+x6jl+x7kl{displaystyle x=x_{0}+x_{1},i+x_{2},j+x_{3},k+x_{4},l+x_{5},il+x_{6},jl+x_{7},kl}

Операция сопряжения октониона x{displaystyle x} определена равенством

x∗=x0−x1i−x2j−x3k−x4l−x5il−x6jl−x7kl.{displaystyle x^{*}=x_{0}-x_{1},i-x_{2},j-x_{3},k-x_{4},l-x_{5},il-x_{6},jl-x_{7},kl.}

Операция сопряжения удовлетворяет равенствам

(xy)∗=y∗x∗{displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}

x∗=−16(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)){displaystyle x^{*}=-{frac {1}{6}}(x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl))}

Вещественная часть октониона x{displaystyle x} определена равенством

12(x+x∗)=x0{displaystyle {frac {1}{2}}(x+x^{*})=x_{0}}

и мнимая часть октониона x{displaystyle x} определена равенством

12(x−x∗){displaystyle {frac {1}{2}}(x-x^{*})}

Норма октониона x{displaystyle x} определена равенством

‖x‖=x∗x{displaystyle |x|={sqrt {x^{*}x}}}.

Легко убедиться, что норма — неотрицательное вещественное число

‖x‖2=x∗x=x02+x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72.{displaystyle |x|^{2}=x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.}

Следовательно, ‖x‖=0{displaystyle |x|=0} тогда
и только тогда, когда x=0{displaystyle x=0}.

Из определения нормы следует, что октонион x≠0{displaystyle xneq 0} обратим и

x−1=x∗‖x‖2.{displaystyle x^{-1}={frac {x^{*}}{|x|^{2}}}.}

См. также |

• Плоскость Кэли

Ссылки |

• 
  Джон С. Баэс «Октонионы», см. «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике» № 1(5), Vol 3(2006) с.120-176.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.