Cdtrjyty

Ве́кторное (или лине́йное) простра́нство — математическая структура, которая представляет собой набор элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения друг с другом и умножения на число — скаляр^[1]. Эти операции подчинены восьми аксиомам..mw-parser-output .ts-Переход img{margin-left:.285714em}^[⇨] Скаляры могут быть элементами вещественного, комплексного или любого другого поля чисел. Частным случаем подобного пространства является обычное трехмерное евклидово пространство, векторы которого используются, к примеру, для представления физических сил. При этом следует отметить, что вектор, как элемент векторного пространства, не обязательно должен быть задан в виде направленного отрезка. Обобщение понятия «вектор» до элемента векторного пространства любой природы не только не вызывает смешения терминов, но и позволяет уяснить или даже предвидеть ряд результатов, справедливых для пространств произвольной природы^[2].

Векторные пространства являются предметом изучения линейной алгебры. Одна из главных характеристик векторного пространства — его размерность.^[⇨] Размерность представляет собой максимальное число линейно независимых элементов пространства, то есть, прибегая к грубой геометрической интерпретации, число направлений, невыразимых друг через друга посредством только операций сложения и умножения на скаляр. Векторное пространство можно наделить дополнительными структурами, например, нормой или скалярным произведением. Подобные пространства естественным образом появляются в математическом анализе, преимущественно в виде бесконечномерных функциональных пространств (англ.), где в качестве векторов выступают функции. Многие проблемы анализа требуют выяснить, сходится ли последовательность векторов к данному вектору. Рассмотрение таких вопросов возможно в векторных пространствах с дополнительной структурой, в большинстве случаев — подходящей топологией, что позволяет определить понятия близости и непрерывности. Такие топологические векторные пространства, в частности, банаховы и гильбертовы, допускают более глубокое изучение.

Первые труды, предвосхитившие введение понятия векторного пространства, относятся к XVII веку. Именно тогда своё развитие получили аналитическая геометрия, учения о матрицах, системах линейных уравнений, евклидовых векторах.

Определение |

Линейное, или векторное пространство V(F){displaystyle Vleft(Fright)} над полем F{displaystyle F} — это упорядоченная четвёрка (V,F,+,⋅){displaystyle (V,F,+,cdot )}, где

• 
  V{displaystyle V} — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;


• 
  F{displaystyle F} — поле, элементы которого называются скалярами;


• Определена операция сложения векторов V×V→V{displaystyle Vtimes Vto V}, сопоставляющая каждой паре элементов x,y{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} } множества V{displaystyle V} единственный элемент множества V{displaystyle V}, называемый их суммой и обозначаемый x+y{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} };


• Определена операция умножения векторов на скаляры F×V→V{displaystyle Ftimes Vto V}, сопоставляющая каждому элементу λ{displaystyle lambda } поля F{displaystyle F} и каждому элементу x{displaystyle mathbf {x} } множества V{displaystyle V} единственный элемент множества V{displaystyle V}, обозначаемый λ⋅x{displaystyle lambda cdot mathbf {x} } или λx{displaystyle lambda mathbf {x} };

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

1. 
   x+y=y+x{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} =mathbf {y} +mathbf {x} }, для любых x,y∈V{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in V} (коммутативность сложения);


2. 
   x+(y+z)=(x+y)+z{displaystyle mathbf {x} +(mathbf {y} +mathbf {z} )=(mathbf {x} +mathbf {y} )+mathbf {z} }, для любых x,y,z∈V{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} ,mathbf {z} in V} (ассоциативность сложения);


3. существует такой элемент 0∈V{displaystyle mathbf {0} in V}, что x+0=0+x=x{displaystyle mathbf {x} +mathbf {0} =mathbf {0} +mathbf {x} =mathbf {x} } для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} (существование нейтрального элемента относительно сложения), называемый нулевым вектором или просто нулём пространства V{displaystyle V};


4. для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} существует такой элемент −x∈V{displaystyle -mathbf {x} in V}, что x+(−x)=0{displaystyle mathbf {x} +(-mathbf {x} )=mathbf {0} }, называемый вектором, противоположным вектору x{displaystyle mathbf {x} };


5. 
   α(βx)=(αβ)x{displaystyle alpha (beta mathbf {x} )=(alpha beta )mathbf {x} } (ассоциативность умножения на скаляр);


6. 
   1⋅x=x{displaystyle 1cdot mathbf {x} =mathbf {x} } (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).


7. 
   (α+β)x=αx+βx{displaystyle (alpha +beta )mathbf {x} =alpha mathbf {x} +beta mathbf {x} } (дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения скаляров);


8. 
   α(x+y)=αx+αy{displaystyle alpha (mathbf {x} +mathbf {y} )=alpha mathbf {x} +alpha mathbf {y} }(дистрибутивность умножения вектора на скаляр относительно сложения векторов).

Таким образом, операция сложения задаёт на множестве V{displaystyle V} структуру (аддитивной) абелевой группы.

Векторные пространства, заданные на одном и том же множестве элементов, но над различными полями, будут различными векторными пространствами (например, множество пар действительных чисел R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} может быть двумерным векторным пространством над полем действительных чисел либо одномерным — над полем комплексных чисел).

Простейшие свойства |

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.


2. Нейтральный элемент 0∈V{displaystyle mathbf {0} in V} является единственным, что вытекает из групповых свойств.


3. 
   0⋅x=0{displaystyle 0cdot mathbf {x} =mathbf {0} } для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V}.


4. Для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} противоположный элемент −x∈V{displaystyle -mathbf {x} in V} является единственным, что вытекает из групповых свойств.


5. 
   1⋅x=x{displaystyle 1cdot mathbf {x} =mathbf {x} } для любого x∈V{displaystyle mathbf {x} in V}.


6. 
   (−α)⋅x=α⋅(−x)=−(αx){displaystyle (-alpha )cdot mathbf {x} =alpha cdot (-mathbf {x} )=-(alpha mathbf {x} )} для любых α∈F{displaystyle alpha in F} и x∈V{displaystyle mathbf {x} in V}.


7. 
   α⋅0=0{displaystyle alpha cdot mathbf {0} =mathbf {0} } для любого α∈F{displaystyle alpha in F}.

Связанные определения и свойства |

Подпространство |

Алгебраическое определение:
Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K{displaystyle K} линейного пространства V{displaystyle V} такое, что K{displaystyle K} само является линейным пространством по отношению к определенным в V{displaystyle V} действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(V){displaystyle mathrm {Lat} (V)}. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. для всякого вектора x∈K{displaystyle mathbf {x} in K} вектор αx{displaystyle alpha mathbf {x} } также принадлежал K{displaystyle K} при любом α∈F{displaystyle alpha in F};


2. для всяких векторов x,y∈K{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in K} вектор x+y{displaystyle mathbf {x} +mathbf {y} } также принадлежал K{displaystyle K}.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов x,y∈K{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} in K} вектор αx+βy{displaystyle alpha mathbf {x} +beta mathbf {y} } также принадлежал K{displaystyle K} для любых α,β∈F{displaystyle alpha ,beta in F}.

В частности, векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Свойства подпространств |

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;


• Сумма подпространств {Ki|i∈1…N}{displaystyle {K_{i}quad |quad iin 1ldots N}} определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов Ki{displaystyle K_{i}}:
  

  
  ∑i=1NKi:={x1+x2+…+xN|xi∈Ki(i∈1…N)}{displaystyle sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:={mathbf {x} _{1}+mathbf {x} _{2}+ldots +mathbf {x} _{N}quad |quad mathbf {x} _{i}in K_{i}quad (iin 1ldots N)}}.

  
  
  • Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.
  
  

Линейные комбинации |

Конечная сумма вида

α1x1+α2x2+…+αnxn{displaystyle alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x} _{n}}

называется^[3]линейной комбинацией элементов x1,x2,…,xn∈V{displaystyle mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2},ldots ,mathbf {x} _{n}in V} с коэффициентами α1,α2,…,αn∈F{displaystyle alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{n}in F}.

В действительности данное определение (и приводимые ниже) приложимо не только к комбинациям векторов, но и к комбинациям любых других объектов, для которых подобные суммы вообще имеют смысл (например, к комбинациям точек аффинного пространства).

Линейная комбинация называется:

• 
  нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.


• 
  барицентрической, если сумма её коэффициентов равна 1^[4],


• 
  выпуклой, если сумма её коэффициентов равна 1 и все коэффициенты неотрицательны,


• 
  сбалансированной, если сумма её коэффициентов равна 0.

Базис. Размерность |

Векторы x1,x2,…,xn{displaystyle mathbf {x} _{1},mathbf {x} _{2},ldots ,mathbf {x} _{n}} называются^[5]линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю:

α1x1+α2x2+…+αnxn=0, |α1|+|α2|+…+|αn|≠0.{displaystyle alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x} _{n}=mathbf {0} ,quad |alpha _{1}|+|alpha _{2}|+ldots +|alpha _{n}|neq 0.}

В противном случае эти векторы называются линейно независимыми.

Данное определение допускает следующее обобщение: бесконечное множество векторов из V{displaystyle V} называется линейно зависимым, если линейно зависимо некоторое конечное его подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.

Можно показать^[6], что число элементов (мощность) максимального линейно независимого множества элементов векторного пространства не зависит от выбора этого множества. Данное число называется рангом, или размерностью, пространства, а само это множество — базисом (базисом Га́меля или линейным базисом). Элементы базиса именуют базисными векторами. Размерность пространства чаще всего обозначается символом dim{displaystyle {rm {dim}}}.

Таким образом, размерность векторного пространства является либо неотрицательным целым числом (в частности, равным нулю, если пространство состоит из одного лишь нулевого вектора), либо бесконечностью (точнее, мощностью бесконечного множества). В первом случае векторное пространство называется конечномерным, а во втором — бесконечномерным (например, бесконечномерным является пространство непрерывных функций). Традиционно, изучение конечномерных векторных пространств и их отображений относится к линейной алгебре, а изучение бесконечномерных векторных пространств — к функциональному анализу. Во втором случае существенную роль играет вопрос о разложимости данного элемента по заданной бесконечной системе функций, то есть о сходимости соответствующих бесконечных сумм, для чего бесконечномерное векторное пространство рассматривается вместе с дополнительной структурой, позволяющей определять сходимость, например, с метрикой или топологией.

Свойства базиса:

• Любые n{displaystyle n} линейно независимых элементов n{displaystyle n}-мерного пространства образуют базис этого пространства.


• Любой вектор x∈V{displaystyle mathbf {x} in V} можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

x=α1x1+α2x2+…+αnxn{displaystyle mathbf {x} =alpha _{1}mathbf {x} _{1}+alpha _{2}mathbf {x} _{2}+ldots +alpha _{n}mathbf {x} _{n}}.

Линейная оболочка |

Линейная оболочка V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)} подмножества X{displaystyle X} линейного пространства V{displaystyle V} — пересечение всех подпространств V{displaystyle V}, содержащих X{displaystyle X}.

Линейная оболочка является подпространством V{displaystyle V}.

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X{displaystyle X}. Говорят также, что линейная оболочка V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)} — пространство, натянутое на множество X{displaystyle X}.

Линейная оболочка V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)} состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X{displaystyle X}. В частности, если X{displaystyle X} — конечное множество, то V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)} состоит из всех линейных комбинаций элементов X{displaystyle X}. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Если X{displaystyle X} — линейно независимое множество, то оно является базисом V(X){displaystyle {mathcal {V}}(X)} и тем самым определяет его размерность.

Примеры |

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.


• Пространство всех функций X→F{displaystyle Xto F} с конечным носителем образует векторное пространство размерности равной мощности X{displaystyle X}.


• 
  Поле действительных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.


• Любое поле является одномерным пространством над собой.


• Пространства матриц и тензоров образуют линейное пространство.

Дополнительные структуры |

• Нормированное векторное пространство


• Метрическое векторное пространство


• Топологическое векторное пространство


• Евклидово пространство


• Пространство Минковского


• Гильбертово пространство

См. также |

• Аффинное пространство


• Выпуклый функционал


• Конечномерное пространство


• Линейная независимость


• Линейное отображение


• Модуль над кольцом


• Прямая сумма


• Сопряжённое пространство


• Флаг

Примечания |

Литература |

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.


• Гельфанд И. М.  Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.


• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.


• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).


• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.

• Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.


• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications. — М.: Мир, 1980. — 454 с.


• Ильин В. А., Позняк Э. Г.  Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.


• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.


• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.


• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.


• Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.–Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.