Cdtrjyty

Гладкое многообразие — многообразие, наделенное гладкой структурой.
Гладкие многообразия являются естественной базой для построения дифференциальной геометрии.
На дифференциальных многообразиях вводятся дополнительные инфинитезимальные структуры — касательное пространство, ориентация, метрика, связность и т. д., и изучаются те свойства, связанные с этими объектами, которые инвариантны относительно группы диффеоморфизмов, сохраняющих дополнительную структуру.

Определение |

Пусть X{displaystyle X} — хаусдорфово топологическое пространство.
Если для каждой точки x∈X{displaystyle xin X} найдется её окрестность U{displaystyle U}, гомеоморфная открытому подмножеству пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}, то X{displaystyle X} называется локально евклидовым пространством, или топологическим многообразием размерности n{displaystyle n}.

Пара (U,ϕ){displaystyle (U,phi )}, где ϕ{displaystyle phi } — указанный гомеоморфизм, называется локальной картой X{displaystyle X} в точке x{displaystyle x}.
Таким образом, каждой точке соответствует набор n{displaystyle n} вещественных чисел (x1,…,xn){displaystyle (x^{1},ldots ,x^{n})}, которые называются координатами в карте (U,ϕ){displaystyle (U,phi )}.
Множество карт {(Uα,ϕα)},α∈A,{displaystyle {(U_{alpha },phi _{alpha })},alpha in A,} называется Ck{displaystyle C^{k}}-атласом (0⩽k⩽∞){displaystyle (0leqslant kleqslant infty )} многообразия X{displaystyle X}, если:

• совокупность всех Uα{displaystyle U_{alpha }} покрывает X{displaystyle X}, т.е. X=∪α∈AUα{displaystyle X=cup _{alpha in A}U_{alpha }}
  


• для любых α,β∈A{displaystyle alpha ,beta in A} таких, что Uα∩Uβ≠∅{displaystyle U_{alpha }cap U_{beta }neq varnothing }, отображение:

ϕαβ=ϕβ∘ϕα−1:ϕα(Uα∩Uβ)→ϕβ(Uα∩Uβ){displaystyle phi _{alpha }^{beta }=phi _{beta }circ phi _{alpha }^{-1}:phi _{alpha }(U_{alpha }cap U_{beta })to phi _{beta }(U_{alpha }cap U_{beta })}

является гладким отображением класса Ck{displaystyle C^{k}};

ϕαβ{displaystyle phi _{alpha }^{beta }} является отображением с отличным от нуля якобианом и называется отображением склейки карты (Uα,ϕα){displaystyle (U_{alpha },phi _{alpha })} с картой (Uβ,ϕβ).{displaystyle (U_{beta },phi _{beta }).}

Два Ck{displaystyle C^{k}}-атласа называются эквивалентными, если их объединение снова образует Ck{displaystyle C^{k}}-атлас.
Совокупность Ck{displaystyle C^{k}}-атласов разбивается на классы эквивалентности, называемые Ck{displaystyle C^{k}}-структурами, при 1⩽k⩽∞{displaystyle 1leqslant kleqslant infty } — дифференциальными (или гладкими) структурами.

Топологическое многообразие X{displaystyle X}, наделенное Ck{displaystyle C^{k}}-структурой, называется Ck{displaystyle C^{k}}-гладким многообразием.

Замечания |

• Если дополнительно отображения склейки являются аналитическими, то это определение даёт аналитическую структуру, иногда обозначаемую Ca{displaystyle C^{a}}-структурой.

Комплексные многообразия |

Задачи аналитической и алгебраической геометрии приводят к необходимости рассмотрения в определении дифференциальной структуры вместо пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} более общих пространств Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}} или даже Kn{displaystyle K^{n}}, где K{displaystyle K} — полное недискретное нормированное поле. Так, в случае K=C{displaystyle K=mathbb {C} } рассматриваются голоморфные (аналитические комплексные) Ck{displaystyle C^{k}}-структуры (k⩾1{displaystyle kgeqslant 1}) и соответствующие гладкие многообразия — комплексные многообразия. При этом на любом таком многообразии есть и естественная настоящая аналитическая структура.

Совместимые структуры |

На любом аналитическом многообразии существует согласованная с ней C∞{displaystyle C^{infty }}-структура, и на C∞{displaystyle C^{infty }}-многообразии,0⩽k⩽∞{displaystyle 0leqslant kleqslant infty }, — Cr{displaystyle C^{r}}-структура, если 0⩽r⩽k{displaystyle 0leqslant rleqslant k}. Наоборот, любое паракомпактное Cr{displaystyle C^{r}}-многообразие, r⩾1{displaystyle rgeqslant 1}, можно наделить аналитической структурой, совместимой с заданной, причем эта структура (с точностью до изоморфизма) единственная. Может, однако, случиться, что C0{displaystyle C^{0}}-многообразие нельзя наделить C1{displaystyle C^{1}}-структурой, а если это удается, то такая структура может быть не единственной. Например, число θ(n){displaystyle theta (n)} C1{displaystyle C^{1}}-неизоморфных C∞{displaystyle C^{infty }}-структур на n{displaystyle n}-мерной сфере равно:

n{displaystyle n}	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
θ(n){displaystyle theta (n)}	1	1	1		1	1	28	2	8	6	992	1

Отображения |

Пусть f:X→Y{displaystyle f:Xto Y} — непрерывное отображение Cr{displaystyle C^{r}}-многообразий X,Y{displaystyle X,Y}; оно называется Ck{displaystyle C^{k}}-морфизмом (или Ck{displaystyle C^{k}}-отображением, k⩽r{displaystyle kleqslant r}, или отображением класса Ck{displaystyle C^{k}}) гладких многообразий, если для любой пары карт (Uα,ϕα){displaystyle (U_{alpha },phi _{alpha })} на X и (Vβ,ψβ){displaystyle (V_{beta },psi _{beta })} на Y такой, что f(Uα)⊂Vβ{displaystyle f(U_{alpha })subset V_{beta }} и отображение:

ψβ∘f∘ϕα−1:ϕα(Uα)→ψβ(Vβ){displaystyle psi _{beta }circ fcirc phi _{alpha }^{-1}:phi _{alpha }(U_{alpha })to psi _{beta }(V_{beta })}

принадлежит классу Ck{displaystyle C^{k}}. Биективное отображение f{displaystyle f}, если оно и f−1{displaystyle f^{-1}} являются Ck{displaystyle C^{k}}-отображениями, называется Ck{displaystyle C^{k}}-изоморфизмом (или диффеоморфизмом). В этом случае X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} и их Cr{displaystyle C^{r}}-структуры называются Ck{displaystyle C^{k}}-изоморфными.

Подмножества и вложения |

Подмножество Y{displaystyle Y} n{displaystyle n}-мерного Ck{displaystyle C^{k}}-многообразия X{displaystyle X} называется Ck{displaystyle C^{k}}-подмногообразием размерности m{displaystyle m} в X{displaystyle X}, если для произвольной точки y∈Y{displaystyle yin Y} существует карта (U,ϕ){displaystyle (U,phi )} Ck{displaystyle C^{k}}-структуры X{displaystyle X}, такая, что y∈U{displaystyle yin U} и ϕ{displaystyle phi } индуцирует гомеоморфизм U∩Y{displaystyle Ucap Y} с (замкнутым) подпространством Rm⊂Rn{displaystyle mathbb {R} ^{m}subset mathbb {R} ^{n}}; иными словами, существует карта с координатами (x1,…,xn){displaystyle (x^{1},ldots ,x^{n})}, такая, что U∩Y{displaystyle Ucap Y} определяется соотношениями xm+1=…=xn=0{displaystyle x^{m+1}=ldots =x^{n}=0}.

Отображение f:X→Y{displaystyle f:Xto Y} называется Ck{displaystyle C^{k}}-вложением, если f(X){displaystyle f(X)} является Ck{displaystyle C^{k}}-подмногообразием в Y{displaystyle Y}, а X→f(X){displaystyle Xto f(X)} — Ck{displaystyle C^{k}}-диффеоморфизм.

Любое n{displaystyle n}-мерное Ck{displaystyle C^{k}}-многообразие допускает вложение в R2n+1{displaystyle mathbb {R} ^{2n+1}}, а также в R2n.{displaystyle mathbb {R} ^{2n}.} Более того, множество таких вложений является везде плотным в пространстве отображений Ck(X,R2n+1){displaystyle C^{k}(X,mathbb {R} ^{2n+1})} относительно компактно-открытой топологии.
Тем самым, рассмотрение гладких многообразий как подмногообразий евклидова пространства дает один из способов изучения их теории, этим путём устанавливаются, например, указанные выше теоремы об аналитических структурах.

Литература |

• Бурбаки Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / пер. с франц. Г. И. Ольшанского. — М.: Мир, 1975. — 220 с.


• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 760 с.


• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.


• де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия / пер. с франц. Д. А. Василькова. — М.: ИЛ, 1956. — 250 с.


• Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / пер. с англ. И. М. Дектярева. — М.: Мир, 1967. — 203 с.


• Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях / пер. с англ. Е. М. Чирки. — М.: Мир, 1971. — 232 с.


• Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. — 176 с.


• Постников М. М. Введение в теорию Морса. — М.: Наука, 1971. — 568 с.


• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.


• Уитни X. Геометрическая теория интегрирования / пер. с англ. И. А. Вайнштейна. — М.: ИЛ, 1960. — 355 с.


• Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях / пер. с англ. под ред. Б. С. Митягина. — М.: Мир, 1976. — 284 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.