Cdtrjyty

Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.

Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.

Определения |

Цепным комплексом называется последовательность (K∙,∂∙){displaystyle (K_{bullet },partial _{bullet })} модулей и гомоморфизмов
∂n:Kn→Kn−1{displaystyle partial _{n}:K_{n}to K_{n-1}}, называемых граничными операторами или дифференциалами:

…←Kn−1←∂nKn←∂n+1Kn+1←…{displaystyle ldots {xleftarrow {}}K_{n-1}{xleftarrow {partial _{n}}}K_{n}{xleftarrow {partial _{n+1}}}K_{n+1}{xleftarrow {}}ldots },

такая что ∂n∂n+1=0{displaystyle partial _{n}partial _{n+1}=0}. Элементы Kn{displaystyle K_{n}} называются n{displaystyle n}-мерными цепями, элементы ядра ZnK=Ker∂n{displaystyle Z_{n}K=Kerpartial _{n}} — n{displaystyle n}-мерными циклами, элементы образа BnK=Im∂n+1{displaystyle B_{n}K=Impartial _{n+1}} — n{displaystyle n}-мерными границами. Из ∂n∂n+1=0{displaystyle partial _{n}partial _{n+1}=0} следует, что BnK⊂ZnK{displaystyle B_{n}Ksubset Z_{n}K} (полуточность). Если к тому же BnK=ZnK{displaystyle B_{n}K=Z_{n}K}, то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами φ∙:(K∙,∂∙K)→(L∙,∂∙L){displaystyle varphi _{bullet }colon (K_{bullet },partial _{bullet }^{K})to (L_{bullet },partial _{bullet }^{L})}, где φ∙{displaystyle varphi _{bullet }} последовательность морфизмов φn:Kn→Ln{displaystyle varphi _{n}colon K_{n}to L_{n}}, такая что φn{displaystyle varphi _{n}} коммутирует с дифференциалом, то есть ∂nLφn=φn−1∂nK{displaystyle partial _{n}^{L}varphi _{n}=varphi _{n-1}partial _{n}^{K}}.

Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль M∗{displaystyle M_{*}}, снабжённый дифференциалом ∂:M∗→M∗{displaystyle partial :M_{*}to M_{*}} степени −1.

Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.^[1]

Коцепной комплекс |

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей (Ω∙,d∙){displaystyle (Omega ^{bullet },d^{bullet })} и гомоморфизмов dn:Ωn→Ωn+1{displaystyle d^{n}colon Omega ^{n}to Omega ^{n+1}}, таких что

dn+1dn=0{displaystyle d^{n+1}d^{n}=0}

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

…→Ωn−1→dn−1Ωn→dnΩn+1→dn+1…{displaystyle ldots {xrightarrow {}}Omega ^{n-1}{xrightarrow {d^{n-1}}}Omega ^{n}{xrightarrow {d^{n}}}Omega ^{n+1}{xrightarrow {d^{n+1}}}ldots }

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии |

n-мерная группа гомологий Hn{displaystyle H_{n}} цепного комплекса (K∙,∂∙){displaystyle (K_{bullet },partial _{bullet })} является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

Hn(K∙,∂∙)=Bn(K)/Zn(K)=Ker∂n/Im∂n+1{displaystyle H_{n}(K_{bullet },partial _{bullet })=B_{n}(K)/Z_{n}(K)=mathrm {Ker} ,partial _{n}/mathrm {Im} ,partial _{n+1}}. Для точного комплекса Hn=0{displaystyle H_{n}=0}

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

Hn(Ω∙,d∙)=Bn/Zn=Kerdn/Imdn−1{displaystyle H^{n}(Omega ^{bullet },d^{bullet })=B^{n}/Z^{n}=mathrm {Ker} ,d^{n}/mathrm {Im} ,d^{n-1}}

Гомоморфизмы цепных комплексов |

Гомоморфизмом цепных комплексов (A∙,δ∙){displaystyle (A^{bullet },delta ^{bullet })} и (B∙,γ∙){displaystyle (B^{bullet },gamma ^{bullet })} называется такое отображение f:An→Bn,∀n∈N,{displaystyle fcolon A_{n}to B_{n},forall nin mathbb {N} ,} что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Тензорное произведение комплексов и внутренний Hom |

Если V = V∗{displaystyle {}_{*}} и W = W∗{displaystyle {}_{*}} — цепные комплексы, то их тензорное произведение V⊗W{displaystyle Votimes W} — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид

(V⊗W)i=⨁{j,k|j+k=i}Vj⊗Wk,{displaystyle (Votimes W)_{i}=bigoplus _{{j,k|j+k=i}}V_{j}otimes W_{k},}

а дифференциал задаётся формулой

∂(a⊗b)=∂a⊗b+(−1)|a|a⊗∂b,{displaystyle partial (aotimes b)=partial aotimes b+(-1)^{left|aright|}aotimes partial b,}

где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а |a|{displaystyle left|aright|} обозначает степень элемента a.

Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей ChK{displaystyle {text{Ch}}_{K}} (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой

a⊗b↦(−1)|a||b|b⊗a{displaystyle aotimes bmapsto (-1)^{left|aright|left|bright|}botimes a}.

Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид ΠiHomK(Vi,Wi+n){displaystyle Pi _{i}{text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}, а дифференциал задаётся формулой

(∂f)(v)=∂(f(v))−(−1)|f|f(∂(v)){displaystyle (partial f)(v)=partial (f(v))-(-1)^{left|fright|}f(partial (v))}.

Имеется естественный изоморфизм

Hom(A⊗B,C)≅Hom(A,Hom(B,C)){displaystyle {text{Hom}}(Aotimes B,C)cong {text{Hom}}(A,{text{Hom}}(B,C))}.

Цепная гомотопия |

Цепная гомотопия D:X→Y{displaystyle Dcolon Xto Y} между гомоморфизмами комплексов f{displaystyle f} и g{displaystyle g} — это такой гомоморфизм цепных комплексов (X∙,∂∙){displaystyle (X^{bullet },partial ^{bullet })} и (Y∙,δ∙){displaystyle (Y^{bullet },delta ^{bullet })} степени +1 (то есть Dk:Xk→Yk+1{displaystyle D_{k}colon X_{k}to Y_{k+1}}), для которого

δD+D∂=g−f{displaystyle delta D+Dpartial =g-f}

δk+1Dk+Dk−1∂k=gk−fk{displaystyle delta _{k+1}D_{k}+D_{k-1}partial _{k}=g_{k}-f_{k}}

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид

Примечания |

Литература |

• 
  Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры, — М.: 1961. (Б-ка сборника «Математика»).


• 
  Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — М.: Мир, 1976.


• 
  Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960.


• 
  Маклейн С. Гомология, — М.: Мир, 1966.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.