Cdtrjyty

Шестиугольная пирамида.

Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину^[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
Пирамида является частным случаем конуса^[2].

История развития пирамиды в геометрии |

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит
^[3], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке (книга XI, определение 12^[4]).

Элементы пирамиды |

SO — высота
SF — апофема
OF — радиус вписанной в основание окружности

• 
  апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины;


• 
  боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;


• 
  боковые ребра — общие стороны боковых граней;


• 
  вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;


• 
  высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);


• 
  диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;


• 
  основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Развёртка пирамиды |

Развёртка правильной пятиугольной пирамиды:
1. в плоскости основания («звезда»)
2. в плоскости одной из боковых граней

Развёрткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга).
Приступая к изучению развёртки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую плёнку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путём изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещён с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развёртывающейся, а полученную плоскую фигуру — её развёрткой.

Свойства пирамиды |

Если все боковые рёбра равны, то:

• вокруг основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;


• боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы;


• также верно и обратное, то есть если боковые рёбра образуют с плоскостью основания равные углы, или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые рёбра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;


• высоты боковых граней равны;


• 
  площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами |

Описание сферы вокруг правильной пирамиды:
SD — высота пирамиды.
AD — радиус окружности, описывающей основание.
В — середина ребра боковой грани
С — точка пересечения плоскостей проходящих через середину рёбер перпендикулярно им.
AC=CS — радиус сферы описывающей пирамиду

Сфера, вписанная в правильную пирамиду:
D — центр основания
SF — апофема
ASD — биссекторная плоскость угла между боковыми гранями
BCE — биссекторная плоскость угла между основанием и боковой гранью
С — точка пересечения всех биссекторных плоскостей
CK=CD — радиус сферы вписанной в пирамиду

Сфера |

• около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие)^[5]. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;


• в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Конус |

• Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);^[6]
  


• Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые рёбра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);


• Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.

Цилиндр |

• Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.


• Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).

Формулы, связанные с пирамидой |

• 
  Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:

V=13Sh,{displaystyle V={frac {1}{3}}Sh,}

где  S{displaystyle S} — площадь основания и  h{displaystyle h} — высота;

V=16Vp,{displaystyle V={frac {1}{6}}V_{p},}

где  Vp{displaystyle V_{p}} — объём параллелепипеда;

• Также объём треугольной пирамиды (тетраэдра) может быть вычислен по формуле^[7]:

V=16a1a2dsin⁡φ,{displaystyle V={frac {1}{6}}a_{1}a_{2}dsin varphi ,}

где a1,a2{displaystyle a_{1},a_{2}} — скрещивающиеся рёбра , d{displaystyle d} — расстояние между a1{displaystyle a_{1}} и a2{displaystyle a_{2}} , φ{displaystyle varphi } — угол между a1{displaystyle a_{1}} и a2{displaystyle a_{2}};

• Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:

Sb=∑iSi{displaystyle S_{b}=sum _{i}^{}S_{i}}

• Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:

 Sp=Sb+So{displaystyle S_{p}=S_{b}+S_{o}}

• Для нахождения площади боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:

Sb=12Pa=n2b2sinα{displaystyle S_{b}={frac {1}{2}}Pa={frac {n}{2}}b^{2}sinalpha }

где a{displaystyle a} — апофема ,  P{displaystyle P} — периметр основания,  n{displaystyle n} — число сторон основания,  b{displaystyle b} — боковое ребро, α{displaystyle alpha } — плоский угол при вершине пирамиды.

Особые случаи пирамиды |

Правильная пирамида |

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Тогда она обладает такими свойствами:

• боковые рёбра правильной пирамиды равны;


• в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;


• в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;


• если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна π{displaystyle pi }, а каждый из них соответственно πn{displaystyle {frac {pi }{n}}}, где n — количество сторон многоугольника основания^[8];


• площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида |

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Тетраэдр |

Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие между понятиями «правильная треугольная пирамида» и «правильный тетраэдр». Правильная треугольная пирамида — это пирамида с правильным треугольником в основании (грани же должны быть равнобедренными треугольниками). Правильным тетраэдром является тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками.

См. также |

• Усечённая пирамида


• Бипирамида

Примечания |

Литература |

• Александров А. Д., Вернер А. Л. Геометрия. Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4.


• Калинин А. Ю., Терешин Д. А. Стереометрия. 11 класс. — 2-е изд. — М.: Физматкнига, 2005. — 332 с. — ISBN 5-89155-134-9.


• Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10—11 классов общеобразовательных учреждений. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 2008. — 175 с. — 60 000 экз. — ISBN 978-5-09-019708-3.

Ссылки |

	Пирамида в Викисловаре
	Пирамида на Викискладе

• 
  Бумажные модели пирамид (англ.)
  


• 
  «Начала» Евклида.