Cdtrjyty

Десяти́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10.
Одна из наиболее распространённых систем.
В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами.
Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Определение |

Один десятичный разряд в десятичной системе счисления иногда называют декадой. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

Целое число x в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10:

x=±∑k=0n−1ak10k{displaystyle x=pm sum _{k=0}^{n-1}a_{k}10^{k}}, где  ak{displaystyle a_{k}} — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству 0≤ak≤9.{displaystyle 0leq a_{k}leq 9.}

Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра an−1{displaystyle a_{n-1}} в десятичном представлении x была также ненулевой.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

103=1⋅102+0⋅101+3⋅100.{displaystyle 103=1cdot 10^{2}+0cdot 10^{1}+3cdot 10^{0}.}

С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до 10n−1{displaystyle 10^{n}-1}, то есть, всего 10n{displaystyle 10^{n}} различных чисел.

Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью:

an−1an−2…a1a0,a−1a−2…a−(m−1)a−m=∑k=−mn−1ak10k,{displaystyle a_{n-1}a_{n-2}dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}dots a_{-(m-1)}a_{-m}=sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}10^{k},}

где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

Двоично-десятичное кодирование |

В двоичных компьютерах применяют двоично-десятичное кодирование десятичных цифр, при этом для одной двоично-десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда (двоичная тетрада). Двоично-десятичные числа требуют большего количества битов для своего хранения^[1]. Так, четыре двоичных разряда имеют 16 состояний, и при двоично-десятичном кодировании 6 из 16 состояний двоичной тетрады не используются^[2].

Таблица сложения в десятичной системе счисления |

Таблица умножения в десятичной системе |

История |

Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр (от 1 до 1 000 000) возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в Древнем Египте (египетская система счисления).

В другой великой цивилизации — вавилонской с её шестидесятеричной системой — за две тысячи лет до н. э. внутри шестидесятеричных разрядов использовалась позиционная десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр^[3]. Египетская десятичная система повлияла на аналогичную систему в первых европейских системах письма, таких как критские иероглифы, линейное письмо А и линейное письмо Б.

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной.
А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось иное название — «арабская» (арабские цифры).

Кипу инков |

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы^[4], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования^[5].
В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных^[6].
Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта, как двойная запись^[7].

Наименование степеней десяти |

В стандартной десятичной системе счисления для именования больших чисел используются именные названия степеней тысячи, такие как миллион (1 000 000) и миллиард (1 000 000 000). Промежуточные степени десяти образуются прибавлением слов десять или сто, например десять миллионов (10 000 000) и сто миллиардов (100 000 000 000); другие промежуточные количества образуются прибавлением к именным названиям степеней тысячи числительных до тысячи, например сто двадцать семь миллионов (127 000 000). Для биллиона и следующих числительных есть два возможных значения: в короткой шкале каждая очередная именованная единица содержит 1000 предыдущих, а в длинной — миллион; так, биллион, следующий за миллионом, может означать как 10⁹, так и 10¹².

Степени десяти в Индии |

В Индии используется альтернативный способ именованию степеней десяти, основанный на устаревшей ведической системе счисления с основанием 100, согласно которой собственные названия имеют 10³, 10⁵ и следующие степени десяти через один, а промежуточные образуются прибавлением числительного десять. Система была официально утверждена в 1987 году и исправлена в 2002 году^[8].

При записи чисел в индийской системе разделители размещаются в соответствии с этими наименованиями степеней: например, число, записываемое в стандартной системе как 50 801 592, в индийской будет иметь вид будет 5 08 01 592^[9]. Названия лакх и крор используются в индийском диалекте английского языка (lakh, crore), хинди (लाख lākh, करोड़ karod) и других языках Южной Азии.

Применение |

• Русские счёты

См. также |

• 
  Приставки СИ — десятичные приставки.


• Именные названия степеней тысячи


• Декатрон

Ссылки |