Cdtrjyty

Секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий.

Определение |

Секционная кривизна — это функция K(σ){displaystyle K(sigma )}, которая зависит от секционного направления σ{displaystyle sigma } в точке p{displaystyle p} (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в p{displaystyle p}). Она равна гауссовой кривизне поверхности, образованной экспоненциальным отображением, измеренной в точке p{displaystyle p}.

Свойства |

• Если v,u{displaystyle v,;u} — два линейно независимых вектора в σ{displaystyle sigma }, то
  

  
  K(σ)=K(u,v)/|u∧v|2,{displaystyle K(sigma )=K(u,;v)/|uwedge v|^{2},} где K(u,v)=⟨R(u,v)v,u⟩,{displaystyle K(u,;v)=langle R(u,;v)v,;urangle ,}
  

  
  

а R(u,v){displaystyle R(u,;v)} обозначает преобразование кривизны.

• • Эту формулу можно переписать следующим образом
    

    K(σ)=⟨R(u,v)v,u⟩⟨u,u⟩⟨v,v⟩−⟨u,v⟩2.{displaystyle K(sigma )={langle R(u,v)v,urangle over langle u,urangle langle v,vrangle -langle u,vrangle ^{2}}.}

    
    

• Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:
  

  
  

  6⋅⟨R(u,v)w,z⟩={displaystyle 6cdot langle R(u,;v)w,;zrangle =}

  
  

  [K(u+z,v+w)−K(u+z,v)−K(u+z,w)−K(u,v+w)−K(z,v+w)+K(u,w)+K(v,z)]−{displaystyle [K(u+z,;v+w)-K(u+z,;v)-K(u+z,;w)-K(u,;v+w)-K(z,;v+w)+K(u,;w)+K(v,;z)],-}

  
  

  [K(u+w,v+z)−K(u+w,v)−K(u+w,z)−K(u,v+z)−K(w,v+z)+K(v,w)+K(u,z)].{displaystyle [K(u+w,;v+z)-K(u+w,;v)-K(u+w,;z)-K(u,;v+z)-K(w,;v+z)+K(v,;w)+K(u,;z)].}

  
  

  
  
  • более простой форме, используя частные производные:
    

    ⟨R(u,v)w,z⟩=16⋅∂2∂s∂t(K(u+sz,v+tw)−K(u+sw,v+tz))|(s,t)=(0,0).{displaystyle langle R(u,;v)w,;zrangle ={frac {1}{6}}cdot left.{frac {partial ^{2}}{partial spartial t}}left(K(u+sz,;v+tw)-K(u+sw,;v+tz)right)right|_{(s,;t)=(0,;0)}.}

    
    
  
  

• 
  Теорема сравнения Топоногова приводит условие на углы треугольника в Римановом многообразии эквивалентное ограниченности его секционной кривизны некоторой постоянной.