Cdtrjyty

Риманово многообразие или риманово пространство (M,g) — это вещественное дифференцируемое многообразие M, в котором каждое касательное пространство снабжено скалярным произведением g — метрическим тензором, меняющимся от точки к точке гладким образом. Метрика g есть положительно определённый симметрический тензор — метрический тензор. Другими словами, риманово многообразие это дифференцируемое многообразие, в котором касательное пространство в каждой точке является конечномерным евклидовым пространством.

Это позволяет определить различные геометрические понятия на римановых многообразиях, такие как углы, длины кривых, площади (или объёмы), кривизну, градиент функции и дивергенции векторных полей.

Не стоит путать римановы многообразия с римановыми поверхностями — многообразиями, которые локально выглядят как склейки комплексных плоскостей.

Термин назван в честь немецкого математика Бернхарда Римана.

Обзор |

Касательное расслоение гладкого многообразия M ставит в соответствие каждой точке M векторное пространство называемое касательным, и на этом касательном пространстве можно ввести скалярное произведение. Если такой набор введённых скалярных произведений на касательном расслоении многообразия изменяется гладко от точки к точке, то с помощью таких произведений можно ввести метричность на всём многообразии. К примеру, гладкая кривая α(t): [0, 1] → M имеет касательный вектор α′(t₀) в касательном пространстве TM(t₀) в любой точке t₀ ∈ (0, 1), и каждый такой вектор имеет длину ‖α′(t₀)‖, где ‖·‖ обозначает норму индуцированную скалярным произведением на TM(t₀). Интеграл по этим длинам даёт длину всей кривой α:

L(α)=∫01‖α′(t)‖dt.{displaystyle L(alpha )=int _{0}^{1}{|alpha '(t)|,mathrm {d} t}.}

Гладкость α(t) для t в [0, 1] гарантирует, что интеграл L(α) существует и длина кривой определена.

Во многих случаях, для того чтобы перейти от линейно-алгебраической концепции к дифференциально геометрической, гладкость очень важна.

Каждое гладкое подмногообразие Rⁿ имеет индуцированную метрику g: скалярное произведение на каждом касательном пространстве это просто скалярное произведение на Rⁿ. Имеет место и обратный факт: теорема Нэша о регулярных вложениях утверждает, любое достаточно гладкое риманово многообразие может быть реализовано как подмногообразие с индуцированной метрикой в Rⁿ достаточной большой размерности n.

Измерение длин и углов при помощи метрики |

На римановом многообразии длина сегмента кривой, заданной параметрически (как вектор-функция x(t){displaystyle x(t)} параметра t{displaystyle t}, меняющегося от a{displaystyle a} до b{displaystyle b}), равна:

L=∫abgijdxidtdxjdtdt=∫x(a)x(b)gijdxidxj.{displaystyle L=int limits _{a}^{b}{sqrt {g_{ij}{dx^{i} over dt}{dx^{j} over dt}}},dt=int limits _{x(a)}^{x(b)}{sqrt {g_{ij},dx^{i},dx^{j}}}.}

Угол θ {displaystyle theta } между двумя векторами, U=ui∂∂xi {displaystyle U=u^{i}{partial over partial x^{i}} } и V=vj∂∂xj {displaystyle V=v^{j}{partial over partial x^{j}} } (в искривлённом пространстве векторы существуют в касательном пространстве в точке многообразия), определяется выражением:

cos⁡θ=gijuivj|gijuiuj||gijvivj|.{displaystyle cos theta ={frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{sqrt {left|g_{ij}u^{i}u^{j}right|left|g_{ij}v^{i}v^{j}right|}}}.}

Псевдоримановы метрики |

Для псевдоримановой метрики длина по формуле, которая приведена выше, не всегда вещественная, потому что выражение под корнем может быть отрицательным. Кривые, имеющие тождественно нулевую длину (т.е. такие, что длина любого сегмента кривой равна нулю), называются изотропными и соответствующие касательные векторы тоже называются изотропными. Угол между двумя векторами, один из которых изотропный, вообще говоря, не определён.

Обобщения |

• Псевдориманово многообразие


• Субриманово многообразие


• Финслерово многообразие

Литература |

• 
  Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.


• 
  А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.


• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 5: Римановы многообразия