Cdtrjyty

Душа — компактное тотально выпуклое тотально геодезическое подмногообразие риманова многообразия (M,g){displaystyle (M,g)}, являющееся его деформационным ретрактом.

Обычно предполагается, что (M,g){displaystyle (M,g)} — полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

Примеры |

• Любое компактное многообразие является своей душой.

• У евклидовa пространствa Rⁿ любая точка является его душой.

• У параболоида M = {(x,y,z) : z = x² + y²}, начало координат (0,0,0) — душа M. При этом не любая точка x, принадлежащая M, является его душой, так как могут существовать геодезические петли, начинающиеся в точке x.

• У бесконечного цилиндра M = {(x,y,z) : x² + y² = 1} любая «горизонтальная» окружность {(x,y,z) : x² + y² = 1} с фиксированной z является душой M.

История |

Термин душа введён
Чигером (англ.)
и
Громолом (англ.)
в 1972 году^[1]
в статье, где они, в частности, доказали теорему о душе. Теорема обобщала более раннюю теорему Громола и Мейера^[2]. В той же статье Чигером и Громолом сформулирована гипотеза о душе, которая была доказана Григорием Перельманом^[3] в 1994 году очень кратко и красиво.

Свойства |

Ниже предполагаем, что (M,g){displaystyle (M,g)} — это полное связное риманово многообразие с секционной кривизной K ≥ 0.

• Теорема о душе утверждает:
  

  Всякое (M, g) имеет душу S. Более того, многообразие M диффеоморфно нормальному расслоению над S.

  
  


• Душа, вообще говоря, не определяется однозначно многообразием (M, g), но любые две души (M, g) изометричны. Последнее доказал Шарафутдинов в 1979 году^[4], построив так называемую ретракцию Шарафутдинова; это 1-липшицев деформационный ретракт (M,g)→S{displaystyle (M,g)to S}.

• 
  Ретракция Шарафутдинова (M,g)→S{displaystyle (M,g)to S} является римановой субмерсией. В частности, если (M,g){displaystyle (M,g)} имеет хоть одну точку со строго положительной секционной кривизной, то его душа есть точка и само многообразие гомеоморфно евклидову пространству.

Связанные открытые вопросы |

• Гипотеза о двойной душе утверждает^[5], что любое компактное многообразие неотрицательной секционной кривизны можно покрыть двумя расслоениями на диски.

Примечания |