Cdtrjyty

Ретракт топологического пространства X{displaystyle X} — подпространство A{displaystyle A} этого пространства, для которого существует ретракция X{displaystyle X} на A{displaystyle A}; то есть непрерывное отображение f:X→A{displaystyle f:Xto A}, тождественное на A{displaystyle A} (то есть такое, что f(x)=x{displaystyle f(x)=x} при всех x∈A{displaystyle xin A}).

Ретракт топологического пространства наследует многие важные свойства самого пространства, в то же время он может быть устроен гораздо проще его самого, более обозрим, более удобен для конкретного исследования.

Примеры |

• Одноточечное множество является ретрактом отрезка, прямой, плоскости и т. д.


• Всякое непустое замкнутое множество канторова совершенного множества является его ретрактом.


• 
  n{displaystyle n}-мерная сфера не является ретрактом (n+1){displaystyle (n+1)}-мерного шара евклидова пространства, так как шар имеет нулевые группы гомологий, а сфера — ненулевую группу Hn{displaystyle H_{n}}. Это противоречит существованию ретракта, так как ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Связанные определения |

• Подпространство A{displaystyle A} пространства X{displaystyle X} называется окрестностным ретрактом, если в X{displaystyle X} существует открытое подпространство, содержащее A{displaystyle A}, ретрактом которого является A{displaystyle A}.


• Метризуемое пространство X{displaystyle X} называется абсолютным ретрактом (абсолютным окрестностным ретрактом), если оно является ретрактом (соответственно окрестностным ретрактом) всякого метризуемого пространства, содержащего X{displaystyle X} в качестве замкнутого подпространства.


• Если ретракция пространства X{displaystyle X} на его подпространство A{displaystyle A} гомотопна тождественному отображению пространства X{displaystyle X} на себя, то A{displaystyle A} называется деформационным ретрактом пространства X{displaystyle X}.


• 
  Линейный оператор P{displaystyle P} в топологическом векторном пространстве E{displaystyle E}, являющийся ретракцией, называется непрерывным проектором. Векторное подпространство F{displaystyle F} топологического векторного пространства E{displaystyle E} называется дополняемым, если существует непрерывный проектор P:E→F{displaystyle Pcolon Eto F}.

Свойства |

• Подпространство A{displaystyle A} пространства X{displaystyle X} является его ретрактом в том и только в том случае, если всякое непрерывное отображение пространства A{displaystyle A} в произвольное топологического пространство Y{displaystyle Y} можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства X{displaystyle X} в Y{displaystyle Y}.


• Если пространство X{displaystyle X} — хаусдорфово, то всякий ретракт пространства X{displaystyle X} замкнут в X{displaystyle X}.


• Всякое свойство, сохраняющееся при переходе к непрерывному образу, равно как и любое свойство, наследуемое замкнутыми подпространствами, устойчиво относительно перехода к ретракту. В частности, при переходе к ретракту сохраняются
  
  
  
  • 
    компактность,
  
  
  • 
    связность,
  
  
  • 
    линейная связность,
  
  
  • 
    сепарабельность,
  
  
  • ограничение сверху на размерность,
  
  
  • 
    паракомпактность,
  
  
  • 
    нормальность,
  
  
  • 
    локальная компактность,
  
  
  • 
    локальная связность.
  
  
  
  


• Если пространство X{displaystyle X} имеет свойство неподвижной точки, т.е . для каждого непрерывного отображения f:X→X{displaystyle f:Xto X} существует точка x∈X{displaystyle xin X} такая, что f(x)=x{displaystyle f(x)=x}, то и каждый ретракт пространства X{displaystyle X} обладает свойством неподвижной точки.


• Абсолютный окрестностный ретракт является локально стягиваемым пространством.


• Ретракция индуцирует эпиморфизм групп гомологий.

Литература |

• Борсук К., Теория ретрактов, пер. с англ., М., 1971.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Викифицировать список литературы.