Cdtrjyty

Функция f{displaystyle f} и обратная ей функция f−1{displaystyle f^{-1}}. Если f(a)=3{displaystyle f(a)=3}, то f−1(3)=a{displaystyle f^{-1}(3)=a}

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции f{displaystyle f} обычно обозначается f−1{displaystyle f^{-1}}, иногда также используется обозначение finv{displaystyle f^{mathrm {inv} }}.

Определение |

Функция g:Y→X{displaystyle g:Yto X} является обратной к функции f:X→Y{displaystyle f:Xto Y}, если выполнены следующие тождества:

• 
  f(g(y))=y{displaystyle f(g(y))=y} для всех y∈Y;{displaystyle yin Y;}
  


• 
  g(f(x))=x{displaystyle g(f(x))=x} для всех x∈X.{displaystyle xin X.}
  

Существование |

Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение y=f(x){displaystyle y=f(x)} относительно x{displaystyle x}. Если оно имеет более чем один корень, то функции, обратной к f{displaystyle f} не существует. Таким образом, функция f(x){displaystyle f(x)} обратима на интервале (a;b){displaystyle (a;b)} тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.

Для непрерывной функции F(y){displaystyle F(y)} выразить y{displaystyle y} из уравнения x−F(y)=0{displaystyle x-F(y)=0} возможно в том и только том случае, когда функция F(y){displaystyle F(y)} строго монотонна (см. теорема о неявной функции). Тем не менее, непрерывную функцию всегда можно обратить на промежутках её строгой монотонности. Например, x{displaystyle {sqrt {x}}} является обратной функцией к x2{displaystyle x^{2}} на [0,+∞){displaystyle [0,+infty )}, хотя на промежутке (−∞,0]{displaystyle (-infty ,0]} обратная функция другая: −x{displaystyle -{sqrt {x}}}.

Примеры |

• Если F:R→R+,F(x)=ax{displaystyle F:mathbb {R} to mathbb {R} _{+},;F(x)=a^{x}}, где a>0,a≠1,{displaystyle a>0,aneq 1,} то F−1(x)=loga⁡x.{displaystyle F^{-1}(x)=log _{a}x.}
  


• Если F(x)=ax+b,x∈R{displaystyle F(x)=ax+b,;xin mathbb {R} }, где a,b∈R{displaystyle a,bin mathbb {R} } фиксированные постоянные и a≠0{displaystyle aneq 0}, то F−1(x)=x−ba.{displaystyle F^{-1}(x)={frac {x-b}{a}}.}
  


• Если F(x)=xn,x≥0,n∈Z{displaystyle F(x)=x^{n},xgeq 0,nin mathbb {Z} }, то F−1(x)=xn.{displaystyle F^{-1}(x)={sqrt[{n}]{x}}.}
  

Свойства |

Графики функции и обратной ей

• Областью определения F−1{displaystyle F^{-1}} является множество Y{displaystyle Y}, а областью значений — множество X{displaystyle X}.


• По построению имеем:

y=F(x)⇔x=F−1(y){displaystyle y=F(x)Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}

или

F(F−1(y))=y,∀y∈Y{displaystyle Fleft(F^{-1}(y)right)=y,;forall yin Y},

F−1(F(x))=x,∀x∈X{displaystyle F^{-1}(F(x))=x,;forall xin X},

или короче

F∘F−1=idY{displaystyle Fcirc F^{-1}=mathrm {id} _{Y}},

F−1∘F=idX{displaystyle F^{-1}circ F=mathrm {id} _{X}},

где ∘{displaystyle circ } означает композицию функций, а idX,idY{displaystyle mathrm {id} _{X},mathrm {id} _{Y}} — тождественные отображения на X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} соответственно.

• Такое отображение G:Y→X{displaystyle Gcolon ,Yto X}, что F∘G=idY{displaystyle Fcirc G=mathrm {id} _{Y}} («обратное справа»), называется сечением отображения F{displaystyle F}.

• Функция F{displaystyle F} является обратной к F−1{displaystyle F^{-1}}:

(F−1)−1=F{displaystyle left(F^{-1}right)^{-1}=F}.

• Пусть F:X⊂R→Y⊂R{displaystyle F:Xsubset mathbb {R} to Ysubset mathbb {R} } — биекция. Пусть F−1:Y→X{displaystyle F^{-1}:Yto X} её обратная функция. Тогда графики функций y=F(x){displaystyle y=F(x)} и y=F−1(x){displaystyle y=F^{-1}(x)} симметричны относительно прямой y=x{displaystyle y=x}.


• Также, если у функции f(x){displaystyle f(x)}есть обратная ей f−1(x){displaystyle f^{-1}(x)}, то графики этих функций будут симметричны относительно линии y=x{displaystyle y=x}.

Разложение в степенной ряд |

Обратная функция аналитической функции может быть представлена в виде степенного ряда:

F−1(y)=∑k=0∞Ak(x0)(y−f(x0))kk!,{displaystyle F^{-1}(y)=sum _{k=0}^{infty }A_{k}(x_{0}){frac {(y-f(x_{0}))^{k}}{k!}},}

где коэффициенты Ak{displaystyle A_{k}} задаются рекурсивной формулой:

An(x)={x,n=0An−1′(x)F′(x),n>0{displaystyle A_{n}(x)={begin{cases}x,n=0\{frac {A_{n-1}'(x)}{F'(x)}},n>0end{cases}}}

См. также |

• Теорема Лагранжа об обращении рядов


• Обратные тригонометрические функции


• Обратимая функция