Cdtrjyty

График вещественной функции

Модуль |z|{displaystyle |z|} и другие характеристики комплексного числа z{displaystyle z}

Абсолю́тная величина́, или мо́дуль числа x{displaystyle x} (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x{displaystyle x}. Обозначается: |x|{displaystyle |x|}.

В случае вещественного x{displaystyle x} абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

 |x|={  x,x⩾0−x, x<0{displaystyle |x|={begin{cases} x,&xgeqslant 0\-x,& x<0end{cases}}}

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа z=x+iy,{displaystyle z=x+iy,} также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

|z|=|x+iy|=x2+y2{displaystyle |z|=|x+iy|={sqrt {x^{2}+y^{2}}}}

Основные свойства |

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина |x1−x2|{displaystyle |x_{1}-x_{2}|} означает расстояние между точками x1{displaystyle x_{1}} и x2{displaystyle x_{2}} и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа |

• Область определения: (−∞;+∞){displaystyle (-infty ;+infty )}.


• Область значений: [0;+∞){displaystyle [0;+infty )}.


• Функция чётная.


• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке x=0{displaystyle x=0} функция претерпевает излом.

Комплексные числа |

• Область определения: вся комплексная плоскость.


• Область значений: [0;+∞){displaystyle [0;+infty )}.


• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства |

Для любых вещественных чисел a,b{displaystyle a,b} имеют место следующие соотношения:

• 
   |x|=x2=x⋅sgn⁡x=max{x,−x}{displaystyle |x|={sqrt {x^{2}}}=xcdot operatorname {sgn} x={rm {max}},{x,,-x}} (см. Функция sgn(x)).


• a⩽|a|{displaystyle aleqslant |a|}


• 
  −|a|⩽a{displaystyle -|a|leqslant a}.


• Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |a|2=a2{displaystyle |a|^{2}=a^{2}}
  

Как для вещественных, так и для комплексных a,b{displaystyle a,b} имеют место соотношения:

• Модуль любого числа равен либо больше нуля: |a|⩾0{displaystyle |a|geqslant 0}, причём |a|=0{displaystyle |a|=0} тогда и только тогда, когда a=0{displaystyle a=0}
  


• Модули противоположных чисел равны: |−a|=|a|{displaystyle |-a|=|a|}
  


• Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: |ab|=|a||b|{displaystyle |ab|=|a||b|}
  


• Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: |ab|=|a||b|{displaystyle left|{frac {a}{b}}right|={frac {|a|}{|b|}}}
  


• Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: |ab|=a|b|,a>0{displaystyle |ab|=a|b|,a>0}
  


• 
  |a+b|⩽|a|+|b|{displaystyle |a+b|leqslant |a|+|b|} (неравенство треугольника).


• 
  |a−b|⩽|a|+|b|{displaystyle |a-b|leqslant |a|+|b|}.


• 
  |a|−|b|⩽|a+b|{displaystyle |a|-|b|leqslant |a+b|}.


• 
  |a±b|⩾||a|−|b||{displaystyle |apm b|geqslant ||a|-|b||}.


• 
  |ak|=|a|k{displaystyle |a^{k}|=|a|^{k}}, если ak{displaystyle a^{k}} существует.

История |

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования |

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica Abs[x].

Обобщение |

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведенным выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую ‖x‖{displaystyle |x|}. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также |

• Модуль комплексного числа


• Модуль вектора


• Норма вектора


• Нормирование


• Нормированное векторное пространство

Примечания |