Cdtrjyty

Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.

Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение E⊃K{displaystyle Esupset K} и элемент α∈E{displaystyle alpha in E}, алгебраический над K{displaystyle K}, то минимальное подполе E{displaystyle E}, содержащее K{displaystyle K} и α{displaystyle alpha }, изоморфно факторкольцу K[x]/(f(x)){displaystyle K[x]/(f(x))}, где K[x]{displaystyle K[x]} — кольцо многочленов с коэффициентами в K{displaystyle K}, а (f(x)){displaystyle (f(x))} — главный идеал, порождённый минимальным многочленом α{displaystyle alpha }. Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.

Определение |

Пусть E⊃K{displaystyle Esupset K} — расширение поля, α∈E{displaystyle alpha in E} — элемент, алгебраический над K{displaystyle K}. Рассмотрим множество многочленов f(x)∈K[x]{displaystyle f(x)in K[x]}, таких что f(α)=0{displaystyle f(alpha )=0}. Это множество образует идеал в кольце многочленов K[x]{displaystyle K[x]}. Действительно, если f(α)=0,g(α)=0{displaystyle f(alpha )=0,g(alpha )=0}, то (f+g)(α)=0{displaystyle (f+g)(alpha )=0}, и для любого многочлена h(x)∈K[x]{displaystyle h(x)in K[x]} (f⋅h)(α)=0{displaystyle (fcdot h)(alpha )=0}. Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент α{displaystyle alpha } алгебраичен; поскольку K[x]{displaystyle K[x]} — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом f(x){displaystyle f(x)}. Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент f(x){displaystyle f(x)} был равен единице, то есть чтобы f(x){displaystyle f(x)} был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу α{displaystyle alpha } из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом α{displaystyle alpha }. Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в K[x]{displaystyle K[x]}.

Примеры |

• Пусть K=Q,E=R,α=2{displaystyle K=mathbb {Q} ,E=mathbb {R} ,alpha ={sqrt {2}}}. Тогда минимальный многочлен α{displaystyle alpha } — это x2−2{displaystyle x^{2}-2}. Если же мы возьмем K=R{displaystyle K=mathbb {R} }, то минимальный многочлен равен x−2{displaystyle x-{sqrt {2}}}.


• 
  K=Q,E=R,α=2+3{displaystyle K=mathbb {Q} ,E=mathbb {R} ,alpha ={sqrt {2}}+{sqrt {3}}}. Минимальный многочлен α{displaystyle alpha } — это x4−10x2+1{displaystyle x^{4}-10x^{2}+1}.

Сопряжённые элементы |

Сопряжённые элементы алгебраического элемента α{displaystyle alpha } над полем K{displaystyle K} — это все (остальные) корни минимального многочлена α{displaystyle alpha }.

Свойства |

Пусть E⊃K{displaystyle Esupset K} — нормальное расширение с группой автоморфизмов G{displaystyle G}, α∈E{displaystyle alpha in E}. Тогда для любого g∈G{displaystyle gin G} — g(α){displaystyle g(alpha )} является сопряжённым к α{displaystyle alpha }, так как любой автоморфизм переводит корни данного многочлена из K[x]{displaystyle K[x]} снова в корни. Обратно, любой элемент β{displaystyle beta }, сопряженный к α{displaystyle alpha }, имеет такой вид: это значит, что группа G{displaystyle G} действует транзитивно на множестве сопряженных элементов. Следовательно, по неприводимости минимального многочлена, K(α){displaystyle K(alpha )} K-изоморфно K(β){displaystyle K(beta )}. Следовательно, отношение сопряжённости симметрично.

Теорема Кронекера утверждает, что любое алгебраическое целое число, такое что его модуль и модуль всех сопряженных ему в поле комплексных чисел равен 1, является корнем из единицы.

Примечания |

• 
  Minimal polynomial (англ.) на сайте PlanetMath.


• 
  Weisstein, Eric W. Conjugate Elements на сайте Wolfram MathWorld.


• 
  Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270—273. — ISBN 978-0-486-47417-5