Аналитическая теория чисел
Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.
Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида
- a1x1+...+anxn=N,{displaystyle a_{1}x_{1}+...+a_{n}x_{n}=N,}
где a1,...,an{displaystyle a_{1},...,a_{n}}
- Fi(z)=∑k=0∞(zai)k{displaystyle F_{i}(z)=sum _{k=0}^{infty }{(z^{a_{i}})^{k}}}
и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом
- F(z)=∑N=0∞l(N)zN,{displaystyle F(z)=sum _{N=0}^{infty }l(N)z^{N},}
где l(N){displaystyle l(N)}
На основе этого метода был построен круговой метод Харди — Литлвуда[1].
В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида S(a)=∑n=1pe2πian2/p{displaystyle S(a)=sum _{n=1}^{p}e^{2pi ian^{2}/p}}
Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:
Πp(1−1ps)−1=∑n=1∞1ns{displaystyle Pi _{p}left(1-{frac {1}{p^{s}}}right)^{-1}=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}},
которое стало основанием для теорий дзета-функций[1]. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения ζ(s)=0{displaystyle zeta (s)=0}
Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что
Πp(1−χ(p)ps)−1=∑n=1∞χ(n)ns{displaystyle Pi _{p}left(1-{frac {chi (p)}{p^{s}}}right)^{-1}=sum _{n=1}^{infty }{frac {chi (n)}{n^{s}}}},
при этом функция χ(p){displaystyle chi (p)}
Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих X{displaystyle X}
aXln(X)<π(X)<bXln(X){displaystyle a{frac {X}{ln(X)}}<pi (X)<b{frac {X}{ln(X)}}}, где a>1/2ln2{displaystyle a>1/2ln 2}
и b<2ln2{displaystyle b<2ln 2}
.
Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.
См. также |
- Теория чисел
Примечания |
↑ 12345 Чисел теория // Большая советская энциклопедия
Литература |
Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, vol. 74 (3rd revised ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6
Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, vol. 46, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7
- Б.М. Широков, Петрозаводский государственный университет им. О. В. Куусинена. Аналитическая теория чисел. — Петрозаводский гос. университет им. О.В. Куусинена, 1986. — 93 с.
- А. Б. Венков, Леон Арменович Тахтаджян. Аналитическая теория чисел и теория функций. — Наука, 1979. — Т. 2. — 224 с.
 | Для улучшения этой статьи по математике желательно: |
