Cdtrjyty

Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.

Формулировка |

Любое отношение частичного порядка ⩽{displaystyle leqslant }, заданное на некотором множестве X{displaystyle X}, может быть продолжено до отношения линейного порядка.

Доказательство |

Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).

Обобщения и усиления |

Теорема Душника — Миллера |

Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.

Случай групп |

Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок ⩽{displaystyle leqslant } группы G{displaystyle G} тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы G{displaystyle G}, когда он удовлетворяет следующему условию:

для каждого конечного множества элементов a1,…,an{displaystyle a_{1},;ldots ,;a_{n}} в G{displaystyle G} (ai≠e{displaystyle a_{i}neq e}) можно так подобрать знаки ε1,…,εn{displaystyle varepsilon _{1},;ldots ,;varepsilon _{n}} (εi=1{displaystyle varepsilon _{i}=1} или εi=−1{displaystyle varepsilon _{i}=-1}), что

P∩S(a1ε1,…,anεn)=∅.{displaystyle Pcap S(a_{1}^{varepsilon _{1}},;ldots ,;a_{n}^{varepsilon _{n}})=varnothing .}

Здесь

S(a1,…,an){displaystyle S(a_{1},;ldots ,;a_{n})} — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами a1,…,an{displaystyle a_{1},;ldots ,;a_{n}},

P={x∈G∣0⩽x}{displaystyle P={xin Gmid 0leqslant x}} — положительный конус отношения ⩽{displaystyle leqslant }.

Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального бесконечного порядка.

Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок ⩽{displaystyle leqslant } группы G{displaystyle G} тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из a∉P{displaystyle anotin P} следует, что для каждого конечного множества элементов a1,…,an{displaystyle a_{1},;ldots ,;a_{n}} в G{displaystyle G} (ai≠e{displaystyle a_{i}neq e}) существуют такие подходящие знаки ε1,…,εn{displaystyle varepsilon _{1},;ldots ,;varepsilon _{n}} (εi=1{displaystyle varepsilon _{i}=1} или εi=−1{displaystyle varepsilon _{i}=-1}), что

P∩S(a,a1ε1,…,anεn)=∅.{displaystyle Pcap S(a,;a_{1}^{varepsilon _{1}},;ldots ,;a_{n}^{varepsilon _{n}})=varnothing .}

Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда ⩽{displaystyle leqslant } изолирован, то есть из an⩾e{displaystyle a^{n}geqslant e} для некоторого натурального числа n{displaystyle n} следует a⩾e{displaystyle ageqslant e}.

Случай векторных пространств |

Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.

Ссылки |

• 
  Шпильрайн, Е. (1930), "Sur l'extension de l'ordre partiel", Fundamenta Mathematicae Т. 16: 386–389, ISSN 0016-2736, <http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=1&tom=16> .


• 
  Dushnik, Ben & Miller, E. W. (1941), "Частично упорядоченные множества", American Journal of Mathematics Т. 63 (3): 600-610, MR: 0004862, ISSN 0002-9327, doi:10.2307/2371374, <https://www.jstor.org/stable/2371374> .


• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 342 с.

См. также |

• Частично упорядоченное множество