Cdtrjyty

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства.
Размерность Лебега пространства X{displaystyle X} обычно обозначается dim⁡X{displaystyle dim X}.

Определение |

Для метрических пространств |

Для компактного метрического пространства X{displaystyle X} размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n{displaystyle n}, обладающее тем свойством, что при любом ε>0{displaystyle varepsilon >0} существует конечное открытое ε{displaystyle varepsilon }-покрытие X{displaystyle X}, имеющее кратность ⩽n+1{displaystyle leqslant n+1};

При этом

• 
  ε{displaystyle varepsilon }-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр <ε{displaystyle <varepsilon }, а


• кратностью конечного покрытия пространства X{displaystyle X} называется наибольшее такое целое число k{displaystyle k}, что существует точка пространства X{displaystyle X}, содержащаяся в k{displaystyle k} элементах данного покрытия.

Для топологических пространств |

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X{displaystyle X} размерностью Лебега называется наименьшее целое число n{displaystyle n} такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства X{displaystyle X} существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности n+1{displaystyle n+1}.

При этом покрытие P{displaystyle {mathcal {P}}} называется вписанным в покрытие Q{displaystyle {mathcal {Q}}}, если каждый элемент покрытия P{displaystyle {mathcal {P}}} является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия Q{displaystyle {mathcal {Q}}}.

Примеры |

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  
  • См. также нульмерное пространство.
  
  


• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  
  • См. также кривая Урысона
    
  
  

Свойства |

• Неравенство
  

  dim⁡(X×Y)≤dim⁡X+dim⁡Y.{displaystyle dim(Xtimes Y)leq dim X+dim Y.}

  
  

выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y}:

• метризуемость


• компактность


• локальная компактность и паракомпактность

Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается;^[1] это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.

• Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
  
  • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства X{displaystyle X} совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на X{displaystyle X}.
  
  


• (Теорема Остранда о крашенной размерности.) Нормальное пространство X{displaystyle X} имеет размерность dim⁡X≤n{displaystyle dim Xleq n} тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия U={Uα}α∈A{displaystyle {mathcal {U}}={U_{alpha }}_{alpha in {mathcal {A}}}} пространства X{displaystyle X} существует вписанное покрытие V{displaystyle {mathcal {V}}}, которое состоит из n+1{displaystyle n+1} подсемейств V1,V2,…,Vn+1{displaystyle {mathcal {V}}_{1},{mathcal {V}}_{2},dots ,{mathcal {V}}_{n+1}} таких, что каждое подсемейство Vi{displaystyle {mathcal {V}}_{i}} состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История |

Впервые введена Анри Лебегом.
Он высказал гипотезу, что размерность n{displaystyle n}-мерного куба равна n{displaystyle n}.
Лёйтзен Брауэр впервые доказал это.
Точное определение инварианта dim⁡X{displaystyle dim X} (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

Примечания |

Литература |

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973