Cdtrjyty

Метризуемое пространство — топологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки.
Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Необходимые условия метризуемости |

• В метризуемом пространстве выполняются сильные аксиомы отделимости: они нормальны и даже коллективно нормальны.


• Каждое метризуемое пространство паракомпактно.


• Все метризуемые пространства удовлетворяют первой аксиоме счётности.


• Для любого метризуемого пространства совпадают число Суслина, число Линделёфа, плотность, спред, экстент, вес.

Достаточное условие метризуемости |

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (Урысон и А. Н. Тихонов)

Эквивалентные условия метризуемости |

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и Урысоном.
На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

• пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий;


• (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет T1{displaystyle T_{1}}-аксиоме отделимости . При этом множество открытых покрытий пространства X{displaystyle X} называется фундаментальным, если для каждой точки x∈X{displaystyle xin X}, каждой её окрестности Ux{displaystyle U_{x}} найдутся покрытие P{displaystyle {mathcal {P}}} и окрестность Ox{displaystyle O_{x}} точки x{displaystyle x} такие, что каждый элемент покрытия P{displaystyle {mathcal {P}}}, пересекающийся с Ox{displaystyle O_{x}}, содержится в Ux{displaystyle U_{x}}.

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

• Критерий Нагаты — Смирнова: пространство X{displaystyle X} метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нем вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств.
Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы.
База B{displaystyle {mathcal {B}}} пространства X{displaystyle X} называется регулярной (равномерной), если для всякой точки x∈X{displaystyle xin X} и любой её окрестности Ox{displaystyle O_{x}} найдется окрестность Ux{displaystyle U_{x}} этой точки такая, что число элементов базы B{displaystyle {mathcal {B}}}, пересекающих
одновременно Ux{displaystyle U_{x}} и дополнение к Ox{displaystyle O_{x}}, конечно (соответственно, если множество элементов Ω∈B{displaystyle Omega in {mathcal {B}}} таких что Ω∋x{displaystyle Omega ni x}, Ω⊄Ox{displaystyle Omega not subset O_{x}} конечно).

• Пространство X{displaystyle X} метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.


• Для метризуемости T1{displaystyle T_{1}}-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

По теореме Ковальского, счётная степень ежа колючести m{displaystyle {mathfrak {m}}} (при m≥ℵ0{displaystyle {mathfrak {m}}geq aleph _{0}}) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса m{displaystyle {mathfrak {m}}}. Таким образом,пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству счётной степени ежа некоторой колючести m{displaystyle {mathfrak {m}}}.^[1]

Частные случаи |

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств.
Так, для метризуемости компакта X{displaystyle X} любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

• X обладает счетной базой;


• X обладает точечно-счетной базой;


• в X есть счётная сеть;

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности и аксиома отделимости T0{displaystyle T_{0}}, причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

О полноте |

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел.
Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и полно по Чеху, то есть является множеством типа G_δ в некотором содержащем его компакте.
Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Вариации и обобщения |

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии.
На этом пути получаются симметризуемые пространства — путём отказа от аксиомы неравенства треугольника.
В эту схему укладываются и моровские пространства.
Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.

Литература |

• Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.