Cdtrjyty

Лине́йно упоря́доченное мно́жество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов a{displaystyle a} и b{displaystyle b} имеет место a⩽b{displaystyle aleqslant b} или b⩽a{displaystyle bleqslant a}.

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения |

Сечением линейно упорядоченного множества P{displaystyle P} называется разбиение его на два подмножества A{displaystyle A} и B{displaystyle B} так, что A∪B=P{displaystyle Acup B=P}, A∩B=∅{displaystyle Acap B=varnothing }
и для любых a∈A{displaystyle ain A} и b∈B{displaystyle bin B}, a⩽b{displaystyle aleqslant b}
Классы A{displaystyle A} и B{displaystyle B} называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

• 
  скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;


• 
  дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента или в нижнем классе нет наибольшего, но не одновременно;


• 
  щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество D{displaystyle D} линейно упорядоченного множества P{displaystyle P} называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества P{displaystyle P} содержит элементы, принадлежащие D{displaystyle D}.

Свойства |

• Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.


• Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).^[1]
  


• Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.


• Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка [0,1]{displaystyle [0,1]} с порядком, унаследованным от R{displaystyle mathbb {R} }.


• 
  Решётка L{displaystyle L} изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая её подрешетка является ретрактом.

Классификация |

Перечислим некоторые практически важные типы линейно упорядоченных множеств, содержащие дополнительные.алгебраические структуры.

• 
  Упорядоченная группа.


• 
  Упорядоченное кольцо.


• 
  Упорядоченное поле.

Примечания |