Cdtrjyty

Общая топология, или теоретико-множественная топология, — раздел топологии, в котором изучаются понятия «непрерывности» и «предела» в наиболее общем смысле.

Область изучения |

Традиционный подход к общей топологии — теоретико-множественный. Множество называется топологическим пространством, когда задано определённое семейство его открытых подмножеств, удовлетворяющее аксиомам.
Возможно много способов задания структуры топологического пространства на одном множестве: от дискретной до нехаусдорфовой «антидискретной (тривиальной) топологии», склеивающей все точки вместе.

Базовые понятия теории множеств (множество, функция, ординальные числа и кардинальные числа, аксиома выбора, лемма Цорна и т.д.) не являются предметом общей топологии, но активно ею используются. Общая топология включает в себя следующие разделы: свойства топологических пространств и их отображений, операции над топологическими пространствами и их отображениями, классификация топологических пространств.

В отличие от дифференциальной и алгебраической топологии, общая топология сосредоточена на изучении наиболее общего вида непрерывных отображений (топологических пространств друг в друга, а не в пространства, наделённые более сложными структурами: алгебраическими и т.п.).
Язык общей топологии включает такие понятия как окрестности, замыкания множеств (а также внутренности), компактность множеств, сходимость последовательностей и фильтров.

Общая топология включает в себя теорию размерности.

История |

Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX в.
Основополагающие работы принадлежат Ф. Хаусдорфу, А. Пуанкаре, П. С. Александрову, П. С. Урысону, Л. Брауэру.
В частности, была решена одна из главных задач общей топологии — нахождение необходимых и достаточных условий метризуемости топологического пространства.

Наиболее бурное развитие общей топологии как самостоятельной ветви знания происходило в середине XX в., в начале же XXI в. она скорее является вспомогательной дисциплиной, «обслуживающей» многие области математики: алгебраическую топологию, функциональный анализ, комплексный анализ, теорию графов и так далее.

См. также |

• Глоссарий общей топологии

Замечания |

• Понятие предела функции, вводимое в общей топологии, допускает дальнейшее обобщение в рамках теории псевдотопологических пространств.

Литература |

• П. С. Александров, В. В. Федорчук, В. И. Зайцев Основные моменты в развитии теоретико-множественной топологии
  


• 
  Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию — М.: Наука, 1977


• 
  Архангельский А. В., Пономарёв В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях — М.: Наука, 1974


• 
  Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры — М.: Наука, 1968


• 
  Келли Дж. Л. Общая топология — М.: Наука, 1968


• 
  Энгелькинг Р. Общая топология — М.: Мир, 1986


• 
  Виро О. Я., Иванов О. А., Харламов В. М., Нецветаев Н. Ю. Элементарная топология. Учебник в задачах (рус., англ.)

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.