Cdtrjyty

Алгебра над кольцом — алгебраическая система, которая является одновременно модулем над этим кольцом и кольцом сама по себе, причём эти две структуры взаимосвязаны. Понятие алгебры над кольцом является обобщением понятия алгебры над полем, аналогично тому как понятие модуля обобщает понятие векторного пространства.

Определения |

Пусть K{displaystyle K} — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль A{displaystyle A} над кольцом K{displaystyle K}, в котором для заданного билинейного отображения (билинейного не над полем, а над кольцом K{displaystyle K}) f:A×A→A{displaystyle fcolon Atimes Arightarrow A} определено произведение согласно равенству ab=f(a,b){displaystyle ab=f(a,b)} называется алгеброй над K{displaystyle K} или K{displaystyle K}-алгеброй.

Согласно определению для всех k,l∈K{displaystyle k,;lin K} и a,b,c∈A{displaystyle a,b,cin A} справедливы соотношения:

1. a(b+c)=ab+ac{displaystyle a(b+c)=ab+ac}


2. (a+b)c=ac+bc{displaystyle (a+b)c=ac+bc}


3. (k+l)a=ka+la{displaystyle (k+l)a=ka+la}


4. k(a+b)=ka+kb{displaystyle k(a+b)=ka+kb}


5. k(la)=(kl)a{displaystyle k(la)=(kl)a}


6. k(ab)=(ka)b=a(kb){displaystyle k(ab)=(ka)b=a(kb)}


7. 
   1a=a{displaystyle 1a=a}, где 1{displaystyle 1} — единица кольца K{displaystyle K}
   

Относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для a{displaystyle a}, b∈A{displaystyle bin A} коммутатор определён равенством [a,b]=ab−ba{displaystyle [a,b]=ab-ba}. K{displaystyle K}-алгебра называется коммутативной, если [a,b]=0{displaystyle [a,b]=0}.

Для a,b,c∈A{displaystyle a,b,cin A} ассоциатор определён равенством (a,b,c)=(ab)c−a(bc){displaystyle (a,b,c)=(ab)c-a(bc)}. K{displaystyle K}-алгебра называется ассоциативной, если (a,b,c)=0{displaystyle (a,b,c)=0}.

Если существует элемент e∈A{displaystyle ein A} такой, что ea=ae=a{displaystyle ea=ae=a} для всех a∈A{displaystyle ain A}, то e{displaystyle e} называется единицей алгебры A{displaystyle A}, а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия k(ab)=(ka)b=a(kb){displaystyle k(ab)=(ka)b=a(kb)} требуют более слабое: k(ab)=(ka)b{displaystyle k(ab)=(ka)b}.

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение na{displaystyle na} (где n{displaystyle n} — целое число) обычно, то есть как сумму n{displaystyle n} копий a{displaystyle a}. Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения f{displaystyle f} выбрать полилинейное отображение g:An→A{displaystyle g:A^{n}rightarrow A}
и определить произведение согласно правилу: a1…an=g(a1,…,an){displaystyle a_{1}dots a_{n}=g(a_{1},dots ,a_{n})}, то полученная алгебраическая структура называется n{displaystyle n}-алгеброй.

Свободная алгебра |

Если алгебра A{displaystyle A} над коммутативным кольцом K{displaystyle K} является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом K{displaystyle K}. Если алгебра A{displaystyle A} имеет конечный базис, то алгебра A{displaystyle A} называется конечномерной.

Если K{displaystyle K} является полем, то, по определению, K{displaystyle K}-алгебра является векторным пространством над K{displaystyle K}, а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают e1,…,en{displaystyle e_{1},dots ,e_{n}}.
Если алгебра имеет единицу e{displaystyle e}, то обычно единицу включают в состав базиса и полагают e0=e{displaystyle e_{0}=e}.
Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения:

eiej=Cijkek{displaystyle e_{i}e_{j}=C_{ij}^{k}e_{k}}.

А именно, если a=akek{displaystyle a=a^{k}e_{k}}, b=bkek{displaystyle b=b^{k}e_{k}}, то произведение можно представить в виде:

ab=Cijkaibjek{displaystyle ab=C_{ij}^{k}a^{i}b^{j}e_{k}}.

Величины Cijk∈K{displaystyle C_{ij}^{k}in K} называются структурными константами алгебры A{displaystyle A}.

Если алгебра коммутативна, то:

Cijk=Cjik{displaystyle C_{ij}^{k}=C_{ji}^{k}}.

Если алгебра ассоциативна, то:

CijkCmlj=CimjCjlk{displaystyle C_{ij}^{k}C_{ml}^{j}=C_{im}^{j}C_{jl}^{k}}.

Свойства |

Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем K{displaystyle K} можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над K{displaystyle K}.

Отображение алгебры |

Возможно рассматривать алгебру A{displaystyle A} над коммутативным кольцом K{displaystyle K} как модуль A{displaystyle A} над коммутативным кольцом K{displaystyle K}.
Отображение f:A→B{displaystyle f:Arightarrow B} алгебры A{displaystyle A} над коммутативным кольцом K{displaystyle K} в алгебру B{displaystyle B} над кольцом K{displaystyle K} называется линейным, если:

f(a+b)=f(a)+f(b){displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)},

f(ka)=kf(a){displaystyle f(ka)=kf(a)}.

для любых a{displaystyle a}, b∈A{displaystyle bin A}, k∈K{displaystyle kin K}. Множество линейных отображений алгебры A{displaystyle A} в алгебру B{displaystyle B} обозначается символом L(A;B){displaystyle {mathcal {L}}(A;B)}.

Линейное отображение f:A→B{displaystyle f:Arightarrow B} алгебры A{displaystyle A} в алгебру B{displaystyle B} называется гомоморфизмом, если f(ab)=f(a)f(b){displaystyle f(ab)=f(a)f(b)} для любых a,b∈A{displaystyle a,bin A}, а также выполнено условие: если алгебры A{displaystyle A} и B{displaystyle B} имеют единицу, то:

f(eA)=eB{displaystyle f(e_{A})=e_{B}}.

Множество гомоморфизмов алгебры A{displaystyle A} в алгебру B{displaystyle B} обозначается символом
H(A;B){displaystyle H(A;B)}.

Очевидно, что H(A;B)⊆L(A;B){displaystyle H(A;B)subseteq {mathcal {L}}(A;B)}.

Примеры |

Общие:

• алгебры квадратных матриц
  


• алгебры многочленов
  


• алгебра формальных степенных рядов
  

Алгебры над полем вещественных чисел:

• комплексные числа


• двойные числа


• дуальные числа


• кватернионы

Литература |

• Скорняков Л. А., Шестаков И. П.  Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.