Cdtrjyty

Конформное отображение — непрерывное отображение, сохраняющее углы между кривыми, а значит и форму бесконечно малых фигур.

Определение |

Взаимно однозначное отображение области D на область D^* (евклидова пространства или риманова многообразия) называется конформным (лат. conformis — подобный), если в окрестности любой точки D дифференциалом этого преобразования является композиция ортогонального преобразования и гомотетии.

Этот термин пришёл из комплексного анализа, изначально использовался только для конформных отображений областей плоскости.

Связанные определения |

• Если при конформном отображении сохраняется ориентация, то говорят о конформном отображении первого рода; если же она меняется на противоположную, то говорят о конформном отображении второго рода либо антиконформном отображении .


• Две метрики g,g~{displaystyle g,{tilde {g}}} на гладком многообразии M{displaystyle M} называются конформноэквивалентными если существует гладкая функция ψ:M→R{displaystyle psi :Mto mathbb {R} } такая что g~=eψg{displaystyle {tilde {g}}=e^{psi }g}. В этом случае тождественное отображение на M{displaystyle M} индуцирует конформное отображение (M,g)→(M,g~){displaystyle (M,g)to (M,{tilde {g}})}.

Свойства |

Пример конформного отображения. Видно, что перпендикулярность сохраняется.

• Конформное отображение сохраняет форму бесконечно малых фигур;


• Конформное отображение сохраняет углы между кривыми в точках их пересечения (свойство сохранения углов).
  
  • Это свойство можно также взять за определение конформного отображения.
  
  


• 
  Теорема Римана: Любая односвязная открытая область в плоскости, отличная от всей плоскости, допускает конформную биекцию на единичный диск.


• 
  Теорема Лиувилля: Всякое конформное отображение области евклидова пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} при n≥3{displaystyle ngeq 3} можно представить в виде суперпозиции конечного числа инверсий.


• 
  Кривизна Вейля сохраняется при конформном отображении, то есть если g~{displaystyle {tilde {g}}} и g{displaystyle g} — конформноэквивалентные метрические тензоры, то
  

  W~(X,Y)Z=W(X,Y)Z,{displaystyle {tilde {W}}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,}

  
  

где W~{displaystyle {tilde {W}}} и W{displaystyle W} обозначают тензоры Вейля для g~{displaystyle {tilde {g}}} и g{displaystyle g} соответственно.

• Для конформно-эквивалентых метрик g~=e2ψ⋅g{displaystyle {tilde {g}}=e^{2psi }{cdot }g}
  

• Связности связаны следующей формулой:
  

  ∇~XY=∇XY+(Xψ)⋅Y+(Yψ)⋅X−g(X,Y)⋅∇ψ.{displaystyle {tilde {nabla }}_{X}Y=nabla _{X}Y+(Xpsi ){cdot }Y+(Ypsi ){cdot }X-g(X,Y){cdot }nabla psi .}

  
  


• Кривизны связаны следующей формулой:
  

  
  

  g(R~(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)−{displaystyle g({tilde {R}}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-}

  
  

  −Hessψ(X,X)−Hessψ(Y,Y)−|∇ψ|2+(Yψ)2{displaystyle -Hess_{psi }(X,X)-Hess_{psi }(Y,Y)-|nabla psi |^{2}+(Ypsi )^{2}}

  
  

  
  

если g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,Xψ=0{displaystyle g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,Xpsi =0} а Hessψ{displaystyle Hess_{psi }} обозначает Гессиан функции ψ{displaystyle psi }.

• Для ортонормированной пары векторов X{displaystyle X} и Y{displaystyle Y} Секционная кривизна в направленнии X∧Y{displaystyle Xwedge Y} можно записать в следующем виде:
  

  K~X,Y=f2⋅KX,Y+f⋅[Hessf(X,X)+Hessf(Y,Y)]−|∇f|2,{displaystyle {tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{cdot }K_{X,Y}+f{cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_{f}(Y,Y)]-|nabla f|^{2},}

  
  

где f=e−ψ{displaystyle f=e^{-psi }}.

• При вычислении скалярной кривизны n{displaystyle n}-мерного риманова многообразия, удобнее записывать конформный фактор в виде g~=u4n−2⋅g{displaystyle {tilde {g}}=u^{tfrac {4}{n-2}}{cdot }g}. В этом случае:
  

  Sc~=(Sc−4(n−1)n−2⋅Δu)⋅un−2n+2{displaystyle {tilde {Sc}}=left({Sc}-{frac {4(n-1)}{n-2}}{cdot }Delta uright)cdot u^{frac {n-2}{n+2}}}

  
  

Примеры |

Дисторсия (посередине и справа) как пример неконформного отображения квадрата.

• Простейший пример — преобразования подобия, ими исчерпываются все конформные отображения всего евклидова пространства на себя;


• 
  Инверсия — конформное отображение второго рода;


• Любая голоморфная функция, обратная к которой также голоморфна, определяет конформное отображение первого рода соответствующей области комплексной плоскости;


• 
  Стереографическая проекция.

История |

Исследованием конформных отображений занимались Л. Эйлер, Б. Риман, К. Гаусс, А. Пуанкаре, К. Каратеодори, Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, М. А. Лаврентьев.

Применение |

Конформное отображение применяется в картографии, электростатике для расчёта распределения электрических полей^[1], механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

Литература |

• 
  Алешков Ю. З. Лекции по теории функции комплексного переменного, СПб.: изд-во СПбГУ, 1999;


• Иванов В. И. Конформные отображения и их приложения (краткий исторический очерк). // Историко-математические исследования. — М.: Янус-К, 2001. — № 41 (6). — С. 255-266..


• 
  Каратеодори К. Конформное отображение. М.—Л.: ОНТИ Государственное технико-теоретическое издательство, 1934 / Пер. с англ. М. В. Келдыша
  


• 
  Лаврентьев М.А. Конформные отображения. М.—Л.: Гостехиздат, 1946. 160 c.


• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.


• 
  Янушаускас А. И. Трёхмерные аналоги конформных отображений. Новосибирск: Наука, 1982. 173 с., 2650 экз.


• 
  Радыгин В. М., Полянский И. С. Методы конформных отображений многогранников в R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}} // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 27:1 (2017), 60–68.

См. также |

• Условия Коши — Римана


• Теорема Римана об отображении


• Теорема Шварца — Кристоффеля


• Диффеоморфизм


• Принцип соответствия границ

Ссылки |

• 
  Примеры конформных отображений (недоступная ссылка), осуществляемых некоторыми элементарными функциями.