Cdtrjyty

Центра́льной симметри́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через ZA{displaystyle Z_{A}}, в то время как обозначение SA{displaystyle S_{A}} можно перепутать с осевой симметрией.
Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре. Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.

Векторная запись |

• Пусть G — оператор центральной симметрии, точка A задана радиус-вектором rA→{displaystyle {vec {r_{A}}}}, а преобразовываемая точка задается радиус-вектором x→{displaystyle {vec {x}}}. Тогда имеет место следующая формула:
  

  G(x→)=2rA→−x→{displaystyle G({vec {x}})=2{vec {r_{A}}}-{vec {x}}}

  
  

Связанные определения |

• Если фигура переходит в себя при симметрии относительно точки A, то A называют центром симметрии этой фигуры.
  
  • При этом сама фигура называется центрально-симметричной.
  
  

Свойства |

Композиция двух центральных симметрий.

• Центральная симметрия является движением (изометрией).

• В n-мерном пространстве если преобразование R является последовательным отражением относительно n взаимно перпендикулярных гиперплоскостей, то R - центральная симметрия относительно общей точки этих гиперплоскостей. Как следствие:
  
  • В чётномерных пространствах центральная симметрия сохраняет ориентацию, а в нечётномерных — не сохраняет.
  
  

• Центральную симметрию можно представить также как гомотетию с центром A и коэффициентом −1 (HA−1{displaystyle H_{A}^{-1}}).

• 
  Композиция двух центральных симметрий — параллельный перенос на удвоенный вектор из первого центра во второй:
  

  ZA∘ZB=T2AB→{displaystyle Z_{A}circ Z_{B}=T_{2{vec {AB}}}}

  
  

• В одномерном пространстве (на прямой) центральная симметрия является зеркальной симметрией.

• На плоскости (в 2-мерном пространстве) симметрия с центром A представляет собой поворот на 180° с центром A (RA180{displaystyle R_{A}^{180}}). Центральная симметрия на плоскости, как и поворот, сохраняет ориентацию.

• Центральную симметрию в трёхмерном пространстве можно представить как композицию отражения относительно плоскости, проходящей через центр симметрии, с поворотом на 180° относительно прямой, проходящей через центр симметрии и перпендикулярной вышеупомянутой плоскости отражения.

• В 4-мерном пространстве центральную симметрию можно представить как композицию двух поворотов на 180° вокруг двух взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в 4-мерном смысле, см. Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве), проходящих через центр симметрии.

См. также |

• Осевая симметрия


• Зеркальная симметрия


• Преобразования плоскости

Литература |

• Бобылёв Д. К. Центр, в физике // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.


• Селиванов Д. Ф. Центр, в геометрии // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.