Cdtrjyty

Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE

Окружность называют вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех его сторон.

В многоугольнике |

• Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех внутренних углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая и является центром вписанной окружности.

• Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади S{displaystyle S} к его полупериметру p{displaystyle p}
  

r=Sp{displaystyle r={frac {S}{p}}}

В треугольнике |

Окружность, вписанная в треугольник со сторонами a, b, c.

Свойства вписанной окружности:

• В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.


• 
  Центр I{displaystyle I} вписанной окружности равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.


• Радиус r{displaystyle r} вписанной в треугольник окружности равен:

r=(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)4(a+b+c);{displaystyle r={sqrt {frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};}

1r=1ha+1hb+1hc{displaystyle {frac {1}{r}}={frac {1}{h_{a}}}+{frac {1}{h_{b}}}+{frac {1}{h_{c}}}}

где a,b,c{displaystyle a,b,c} — стороны треугольника, ha,hb,hc{displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}} — высоты, проведённые к соответствующим сторонам^[1];

r=Sp=(p−a)(p−b)(p−c)p{displaystyle r={frac {S}{p}}={sqrt {frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}}

Формула Эйлера

где S{displaystyle S} — площадь треугольника, а p{displaystyle p} — его полупериметр.

r=p−actg⁡(α/2)=p−bctg⁡(β/2)=p−cctg⁡(γ/2){displaystyle r={frac {p-a}{operatorname {ctg} (alpha /2)}}={frac {p-b}{operatorname {ctg} (beta /2)}}={frac {p-c}{operatorname {ctg} (gamma /2)}}}, p{displaystyle p} — полупериметр треугольника (Теорема котангенсов).

• Если AB{displaystyle AB} — основание равнобедренного треугольника △ABC{displaystyle triangle ABC}, то окружность, касающаяся сторон угла ∠ACB{displaystyle angle ACB} в точках A{displaystyle A} и B{displaystyle B}, проходит через центр вписанной окружности треугольника △ABC{displaystyle triangle ABC}.


• 
  Теорема Эйлера: R2−2Rr=|OI|2{displaystyle R^{2}-2Rr=|OI|^{2}}, где R{displaystyle R} — радиус описанной вокруг треугольника окружности, r{displaystyle r} — радиус вписанной в него окружности, O{displaystyle O} — центр описанной окружности, I{displaystyle I} — центр вписанной окружности.


• Если прямая, проходящая через точку I параллельно стороне AB{displaystyle AB}, пересекает стороны BC{displaystyle BC} и CA{displaystyle CA} в точках A1{displaystyle A_{1}} и B1{displaystyle B_{1}}, то A1B1=A1B+AB1{displaystyle A_{1}B_{1}=A_{1}B+AB_{1}}.


• Если точки касания вписанной в треугольник T{displaystyle T} окружности соединить отрезками, то получится треугольник T1{displaystyle T_{1}} со свойствами:
  
  
  
  • 
    Биссектрисы T являются серединными перпендикулярами T₁
    
  
  
  • Пусть T₂ — ортотреугольник T₁. Тогда его стороны параллельны сторонам исходного треугольника T.
  
  
  • Пусть T₃ — серединный треугольник T₁. Тогда биссектрисы T являются высотами T₃.
  
  
  • Пусть T₄ — ортотреугольник T₃, тогда биссектрисы T являются биссектрисами T₄.
  
  
  
  


• Радиус вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c окружности равен a+b−c2=aba+b+c{displaystyle {frac {a+b-c}{2}}={frac {ab}{a+b+c}}}.


• Расстояние от вершины С треугольника до точки, в которой вписанная окружность касается стороны, равно d=a+b−c2=p−c{displaystyle d={frac {a+b-c}{2}}=p-c}.


• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности равно lc=rsin⁡(γ2){displaystyle l_{c}={frac {r}{sin({frac {gamma }{2}})}}}, где r{displaystyle r} — радиус вписанной окружности, а γ — угол вершины C.


• Расстояние от вершины C до центра вписанной окружности может также быть найдено по формулам lc=(p−c)2+r2{displaystyle l_{c}={sqrt {(p-c)^{2}+r^{2}}}} и lc=ab−4Rr{displaystyle l_{c}={sqrt {ab-4Rr}}}
  


• 
  Теорема о трезубце или теорема трилистника: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|{displaystyle |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|}.


• 
  Лемма Веррьера^[2]: пусть окружность V{displaystyle V} касается сторон AB{displaystyle AB}, AC{displaystyle AC} и дуги BC{displaystyle BC} описанной окружности треугольника ABC{displaystyle ABC}. Тогда точки касания окружности V{displaystyle V} со сторонами и центр вписанной окружности треугольника ABC{displaystyle ABC} лежат на одной прямой.

• 
  Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности. Точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Связь вписанной и описанной окружностей |

• 
  Формула Эйлера: Если d{displaystyle d} — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, а их радиусы равны r{displaystyle r} и R{displaystyle R} соответственно, то d2=R2−2Rr{displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr}.


• Формулы для отношения и произведения радиусов:

rR=4S2pabc=cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ−1;{displaystyle {frac {r}{R}}={frac {4S^{2}}{pabc}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1;}^[3]

2Rr=abca+b+c{displaystyle 2Rr={frac {abc}{a+b+c}}},

rR=4sin⁡α2sin⁡β2sin⁡γ2=cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ−1{displaystyle {frac {r}{R}}=4sin {frac {alpha }{2}}sin {frac {beta }{2}}sin {frac {gamma }{2}}=cos alpha +cos beta +cos gamma -1}

где p{displaystyle p} — полупериметр треугольника, S{displaystyle S} — его площадь.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[4].

• Для треугольника можно построить полувписанную окружность, или окружность Варьера. Это окружность, касающаяся двух сторон треугольника и его описанной окружности внутренним образом. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке. Эта точка служит центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей описанную окружность во вписанную.


• 
  Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и полувписанной окружности.

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R

В четырёхугольнике |

• 
  Описанный четырёхугольник, если у него нет самопересечений («простой»), должен быть выпуклым.


• Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.


• Иными словами, в выпуклый четырёхугольник ABCD можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: AB+CD=BC+AD{displaystyle AB+CD=BC+AD}.

Теорема Ньютона (планиметрия) и прямая Гаусса

• Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Гаусса. На рисунке она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.


• 
  Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).

В сферическом треугольнике |

Вписанная окружность для сферического треугольника — это окружность, касающаяся всех его сторон.

• Тангенс радиуса^[5] вписанной в сферический треугольник окружности равен^[6]:73-74
  

tg⁡r=sin⁡(p−a)sin⁡(p−b)sin⁡(p−c)sin⁡p{displaystyle operatorname {tg} r={sqrt {frac {sin(p-a)sin(p-b)sin(p-c)}{sin p}}}}

• Вписанная в сферический треугольник окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр вписанной окружности пересечет сферу в точке пересечения биссектрис углов (дуг больших кругов сферы, делящих углы пополам) сферического треугольника^[6]:20-21.

См. также |

Примечания |

Литература |

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 89. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.


• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 52-53. — ISBN 5-94057-170-0.


• 
  Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), New York: Barnes & Noble