Cdtrjyty

Тринадцатиугольник

Многоуго́льник — это геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Варианты определений |

Многоугольники

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

• 
  Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;


• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;


• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

В любом случае вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а её отрезки — сторонами многоугольника.

Связанные определения |

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.


• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.


• Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.


• 
  Углом (или внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, и находящийся во внутренней области многоугольника. В частности, угол может превосходить 180°, если многоугольник невыпуклый.


• 
  Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол — это разность между 180° и внутренним углом, он может принимать значения от −180° до 180°.

Виды многоугольников |

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с n{displaystyle n} вершинами называется n{displaystyle n}-угольником.

Многоугольник, вписанный в окружность

Многоугольник, описанный около окружности

• 
  Выпуклый многоугольник это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника.


• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник.


• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.


• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.


• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.

Свойства |

• Сумма внутренних углов плоского n{displaystyle n}-угольника без самопересечений равна (n−2)⋅180∘{displaystyle (n-2)cdot 180^{circ }}.


• Число диагоналей всякого n{displaystyle n}-угольника равно n⋅(n−3)2{displaystyle {tfrac {ncdot (n-3)}{2}}}.

Площадь |

• Пусть {(Xi,Yi)},i=1,2,...,n{displaystyle {(X_{i},Y_{i})},i=1,2,...,n} — последовательность координат соседних друг другу вершин n{displaystyle n}-угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

S=12|∑i=1n(Xi+Xi+1)(Yi−Yi+1)|{displaystyle S={frac {1}{2}}left|sum limits _{i=1}^{n}(X_{i}+X_{i+1})(Y_{i}-Y_{i+1})right|}, где (Xn+1,Yn+1)=(X1,Y1){displaystyle (X_{n+1},Y_{n+1})=(X_{1},Y_{1})}.

Квадрируемость фигур |

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура F{displaystyle F} называется квадрируемой, если для любого ε>0{displaystyle varepsilon >0} существует пара многоугольников P{displaystyle P} и Q{displaystyle Q}, такие что P⊂F⊂Q{displaystyle Psubset Fsubset Q} и S(Q)−S(P)<ε{displaystyle S(Q)-S(P)<varepsilon }, где S(P){displaystyle S(P)} обозначает площадь P{displaystyle P}.

Вариации и обобщения |

• 
  Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

В Викисловаре есть статья «многоугольник»

	Многоугольник на Викискладе