Правильный многоугольник







































Восьмиугольник
Regular polygon 8 annotated.svg
Правильный восьмиугольник
Тип
Правильный многоугольник
Рёбра
8
Символ Шлефли
{8}, t{4}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
Вид симметрии
Диэдрическая группа (D5)
Площадь
2cot⁡π8a2{displaystyle 2cot {frac {pi }{8}}a^{2}}{displaystyle 2cot {frac {pi }{8}}a^{2}}
=2(1+2)a2≃4.828a2.{displaystyle =2(1+{sqrt {2}})a^{2}simeq 4.828,a^{2}.}{displaystyle =2(1+{sqrt {2}})a^{2}simeq 4.828,a^{2}.}

Внутренний угол (градусы)

135°
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный

Пра́вильный многоуго́льник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между смежными сторонами равны.


Определение правильного многоугольника может зависеть от определения многоугольника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугольника как невыпуклого многоугольника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.




Содержание






  • 1 Свойства


    • 1.1 Координаты


    • 1.2 Размеры


    • 1.3 Площадь


    • 1.4 Периметр




  • 2 Применение


  • 3 История


  • 4 См. также


  • 5 Примечания





Свойства |



Координаты |


Пусть xC{displaystyle x_{C}}x_{C} и yC{displaystyle y_{C}}y_{C} — координаты центра, а R{displaystyle R}R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ0{displaystyle {phi }_{0}}{phi }_{0} — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:



xi=xC+Rcos⁡0+2πin){displaystyle x_{i}=x_{C}+Rcos left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)}x_{i}=x_{C}+Rcos left({phi }_{0}+{frac  {2pi i}{n}}right)

yi=yC+Rsin⁡0+2πin){displaystyle y_{i}=y_{C}+Rsin left({phi }_{0}+{frac {2pi i}{n}}right)}y_{i}=y_{C}+Rsin left({phi }_{0}+{frac  {2pi i}{n}}right)


где i=0…n−1{displaystyle i=0dots n-1}i=0dots n-1



Размеры |




Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности


Пусть R{displaystyle R}R — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен



r=Rcos⁡πn{displaystyle r=Rcos {frac {pi }{n}}}r=Rcos {frac  {pi }{n}},

а длина стороны многоугольника равна


a=2Rsin⁡πn=2rtgπn{displaystyle a=2Rsin {frac {pi }{n}}=2rmathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{n}}}a=2Rsin {frac  {pi }{n}}=2r{mathop  {{mathrm  {tg}}}},{frac  {pi }{n}}


Площадь |


Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{displaystyle n}n и длиной стороны a{displaystyle a}a составляет:



S=n4 a2ctg⁡πn{displaystyle S={frac {n}{4}} a^{2}mathop {mathrm {} } ,operatorname {ctg} {frac {pi }{n}}}S={frac  {n}{4}} a^{2}{mathop  {{mathrm  {}}}},operatorname {ctg}{frac  {pi }{n}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{displaystyle n}n, вписанного в окружность радиуса R{displaystyle R}R, составляет:



S=n2R2sin⁡n{displaystyle S={frac {n}{2}}R^{2}sin {frac {2pi }{n}}}S={frac  {n}{2}}R^{2}sin {frac  {2pi }{n}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{displaystyle n}n, описанного вокруг окружности радиуса r{displaystyle r}r, составляет:



S=nr2tgπn{displaystyle S=nr^{2}mathop {mathrm {tg} } ,{frac {pi }{n}}}S=nr^{2}{mathop  {{mathrm  {tg}}}},{frac  {pi }{n}}(площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{displaystyle n}n равна



S=nra2{displaystyle S={frac {nra}{2}}}S={frac  {nra}{2}},

где r{displaystyle r}r — расстояние от середины стороны до центра, a{displaystyle a}a — длина стороны.


Площадь правильного многоугольника через периметр (P{displaystyle P}P) и радиус вписанной окружности (r{displaystyle r}r) составляет:



S=12Pr{displaystyle S={frac {1}{2}}Pr}S={frac  {1}{2}}Pr.


Периметр |


Если нужно вычислить длину стороны an{displaystyle a_{n}}a_n правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L{displaystyle L}L можно вычислить длину одной стороны многоугольника:




an{displaystyle a_{n}}a_n — длина стороны правильного n-угольника.

an=sin⁡180n⋅{displaystyle a_{n}=sin {frac {180}{n}}cdot {frac {L}{pi }}}a_{n}=sin {frac  {180}{n}}cdot {frac  {L}{pi }}


Периметр Pn{displaystyle P_{n}}P_{n} равен


Pn=an⋅n{displaystyle P_{n}=a_{n}cdot n}P_{n}=a_{n}cdot n

где n{displaystyle n}n — число сторон многоугольника.



Применение |


Правильными многоугольниками по определению являются грани правильных многогранников.


Древнегреческие математики (Антифонт, Брисон Гераклейский, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.[1]



История |


Построение правильного многоугольника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугольник.


Евклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугольников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугольников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугольник с 2m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугольник с числом сторон 2m — 1: пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугольник, правильный шестнадцатиугольник и так далее. Кроме этого, в той же книге Евклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугольники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугольник с r · s сторонами. Что достигается построением многоугольника с s сторонами и многоугольника с r сторонами так, чтобы они были вписаны в одну окружность, и чтобы одна вершина у них была общей. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугольники с 2m⋅p1k1⋅p2k2{displaystyle 2^{m}cdot {p_{1}}^{k_{1}}cdot {p_{2}}^{k_{2}}}2^{m}cdot {p_{1}}^{{k_{1}}}cdot {p_{2}}^{{k_{2}}} сторонами, где m — целое неотрицательное число, p1,p2{displaystyle {p_{1}},{p_{2}}}{p_{1}},{p_{2}} — числа 3 и 5, а k1,k2{displaystyle {k_{1}},{k_{2}}}{k_{1}},{k_{2}} принимают значения 0 или 1.


Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугольника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537. Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугольник возможно построить, если число его сторон равно 2k0p1k1p2k2⋯psks{displaystyle 2^{k_{0}}{p_{1}}^{k_{1}}{p_{2}}^{k_{2}}cdots {p_{s}}^{k_{s}}}2^{{k_{0}}}{p_{1}}^{{k_{1}}}{p_{2}}^{{k_{2}}}cdots {p_{s}}^{{k_{s}}}, где k0{displaystyle {k_{0}}}{k_{0}} — целое неотрицательное число, k1,k2,…,ks{displaystyle {k_{1}},{k_{2}},dots ,{k_{s}}}{k_{1}},{k_{2}},dots ,{k_{s}} принимают значения 0 или 1, а pj{displaystyle {p_{j}}}{p_{j}} — простые числа Ферма.


Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.


Точку в деле построения правильных многоугольников поставило нахождение построений 17-, 257- и 65537-угольника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе — Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее — Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году.


С тех пор проблема считается полностью решённой.



См. также |


  • Правильный многогранник


Примечания |



Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «правильный многоугольник»




  1. А. В. Жуков. О числе π. — М.: МЦНМО, 2002. ISBN 5-94057-030-5.










Popular posts from this blog

Михайлов, Христо

Гороховецкий артиллерийский полигон

Центральная группа войск