Cdtrjyty

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение

Конечные группы Классификация простых конечных групп Циклическая группа Cp Симметрическая группа Sn Диэдрическая группа Dn Знакопеременная группа An Группы Матьё M11 • M12 • M22 • M23 • M24 Группы Конвея Co1 • Co2 • Co3 Группы Янко J1 • J2 • J3 • J4 Группы Фишера F22 • F23 • F24 Монстр (М)

Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Гру́ппа Ло́ренца является группой преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)^[1].
В математике обозначается O(1,3){displaystyle O(1,;3)}.

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени: xν′=∑μLνμxμ{displaystyle x_{nu }^{'}=sum _{mu }L_{nu mu }x_{mu }}, x0=ct,x1=x,x2=y,x3=z{displaystyle x_{0}=ct,x_{1}=x,x_{2}=y,x_{3}=z}   которые оставляют инвариатной квадратичную форму, которая является математическим выражением четырёхмерного интервала, s2=c2t2−x2−y2−z2{displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}} и не меняют направления времени. Группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях xy,yz,zx{displaystyle xy,yz,zx}, лоренцевы преобразования xt,yt,zt{displaystyle xt,yt,zt}, отражения пространственных осей x,y,z{displaystyle x,y,z} x→−x,y→−y,z→−z{displaystyle xto -x,yto -y,zto -z} и все их произведения. ^[2]

Специальная группа Лоренца SO(1,3){displaystyle SO(1,;3)} — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1{displaystyle pm 1}).

Ортохронная группа Лоренца O↑(1,3){displaystyle O_{uparrow }(1,;3)}, специальная ортохронная группа Лоренца SO↑(1,3){displaystyle SO_{uparrow }(1,;3)} — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты x0{displaystyle x^{0}}). Группа SO↑(1,3){displaystyle SO_{uparrow }(1,;3)}, единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Представления группы Лоренца |

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат Uα(x){displaystyle U_{alpha }(x)}. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой, компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: uβ′=∑αΛβαuα(x){displaystyle u_{beta }^{'}=sum _{alpha }Lambda _{beta alpha }u_{alpha }(x)}. При этом матрица Λ{displaystyle Lambda } имеет ранг ν{displaystyle nu }, равный числу компонент величины uα{displaystyle u_{alpha }}. Каждому элементу группы Лоренца P{displaystyle P} соответствует линейное преобразование Λ(P){displaystyle Lambda (P)}, единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование Λ=1{displaystyle Lambda =1}, а произведению двух элементов группы Лоренца P1{displaystyle P_{1}} и P2{displaystyle P_{2}} соответствует произведение двух преобразований Λ(P1P2)=Λ(P1)Λ(P2){displaystyle Lambda (P_{1}P_{2})=Lambda (P_{1})Lambda (P_{2})}. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца. ^[3]Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца SO↑(1,3){displaystyle SO_{uparrow }(1,;3)} можно построить при помощи спиноров.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Примечания |

Литература |

• Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я.  Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.


• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.


• Любарский Г. Я.  Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.


• Наймарк М. А.  Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.


• 
  Фёдоров Ф. И.  Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)


• 
  Artin, Emil. Geometric Algebra. — New York : Wiley, 1957. — ISBN 0-471-60839-4.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).


• 
  Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. — McGraw-Hill, New York, 1977. — ISBN 0-07-009986-3.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.


• 
  Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.). — Cambridge : Cambridge University Press, 2004. — ISBN 0-521-53927-7.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.


• 
  Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course. — New York : Springer-Verlag, 1991. — ISBN 0-387-97495-4.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).


• 
  Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. — Singapore : World Scientific, 2004. — ISBN 981-02-1051-5.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.


• 
  Hatcher, Allen. Algebraic topology. — Cambridge : Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.. See also the online version (неизв.). Проверено 3 июля 2005. Архивировано 20 февраля 2012 года. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.


• 
  Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime. — New York : Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-486-43235-1 (Dover reprint edition).. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.


• 
  Needham, Tristam. Visual Complex Analysis. — Oxford : Oxford University Press, 1997. — ISBN 0-19-853446-9.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.


• Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

См. также |

• Прецессия Томаса


• Группа Пуанкаре