Теорема Уитни о вложении — утверждение дифференциальной топологии, согласно которому произвольное гладкое m{displaystyle m}
-мерное многообразие со счётной базой допускает гладкое вложение в 2m{displaystyle 2m}
-мерное евклидово пространство. Установлено Хасслером Уитни в 1938 году.
Этот результат оптимален, например, если m{displaystyle m} — степень двойки, то m{displaystyle m}-мерное проективное пространство
невозможно вложить в (2m−1){displaystyle (2m-1)}
-мерное евклидово пространство.
Схема доказательства |
Случаи m=1{displaystyle m=1}
и m=2{displaystyle m=2}
устанавливаются напрямую.
Для доказательства случая m⩾3{displaystyle mgeqslant 3}
используется факт, что гладкое отображение общего положения f:M→R2m{displaystyle fcolon Mto mathbb {R} ^{2m}}
является погружением с конечным количеством точек трансверсального самопересечения.
Избавиться от этих точек самопересечени можно, несколько раз применив трюк Уитни.
Он состоит в следующем. Возьмем точки p,q∈R2m{displaystyle p,qin mathbb {R} ^{2m}}
самопересечения отображения f{displaystyle f}
, имеющие разные знаки. Возьмем точки xp,yp,xq,yq∈M{displaystyle x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}in M}
, для которых f(xp)=f(yp)=p{displaystyle f(x_{p})=f(y_{p})=p}
и f(xq)=f(yq)=q{displaystyle f(x_{q})=f(y_{q})=q}
. Соединим xp{displaystyle x_{p}}
и xq{displaystyle x_{q}}
гладкой кривой x⊂M{displaystyle xsubset M}
. Соединим yp{displaystyle y_{p}}
и yq{displaystyle y_{q}}
гладкой кривой y⊂M{displaystyle ysubset M}
. Тогда f(x∪y){displaystyle f(xcup y)}
есть замкнутая кривая в R2m{displaystyle mathbb {R} ^{2m}}
. Далее построим отображение h:D2→R2m{displaystyle hcolon D^{2}to mathbb {R} ^{2m}}
с границей h(∂D2)=f(x∪y){displaystyle h(partial D^{2})=f(xcup y)}
. В общем положении, h{displaystyle h}
является вложением и h(D2)∩f(M)=h(∂D2){displaystyle h(D^{2})cap f(M)=h(partial D^{2})}
(как раз здесь используется то, что m⩾3{displaystyle mgeqslant 3}). Тогда можно изотопировать f{displaystyle f} в маленькой окрестности диска h(D2){displaystyle h(D^{2})}
так, чтобы эта пара точек самопересечения исчезла. В последнее утверждение легко поверить, представив картинку для m=1{displaystyle m=1} (в которой свойства диска оказались выполнены случайно, а не по общему положению).
Аккуратное доказательство приведено в пункте 22.1 книги Прасолова [1].
Приведем набросок другого способа избавиться от точек самопересечения отображения общего положения f:M→R2m{displaystyle fcolon Mto mathbb {R} ^{2m}}. Он основан на важной идее поглощения. (Иногда данное применение этой другой идеи ошибочно называют трюком Уитни.) Возьмем точку p∈R2m{displaystyle pin mathbb {R} ^{2m}}
самопересечения отображения f{displaystyle f}. Возьмем точки x,y∈M{displaystyle x,yin M}
, для которых f(x)=f(y)=p{displaystyle f(x)=f(y)=p}
. Соединим x{displaystyle x}
и y{displaystyle y}
гладкой кривой l⊂M{displaystyle lsubset M}
. Тогда f(l){displaystyle f(l)}
есть замкнутая кривая в R2m{displaystyle mathbb {R} ^{2m}}. Далее построим отображение h:D2→R2m{displaystyle hcolon D^{2}to mathbb {R} ^{2m}} с границей h(∂D2)=f(l){displaystyle h(partial D^{2})=f(l)}
. В общем положении, h{displaystyle h} является вложением и h(D2)∩f(M)=h(∂D2){displaystyle h(D^{2})cap f(M)=h(partial D^{2})} (как раз здесь используется то, что m⩾3{displaystyle mgeqslant 3}). Теперь можно изотопировать f{displaystyle f} в маленькой окрестности диска h(D2){displaystyle h(D^{2})} так, чтобы эта точка самопересечения исчезла.
См. детали и обобщения в книге Рурке и Сандерсона [2] и параграфе 8 обзора Скопенкова [3].
Это рассуждение обычно проводят в кусочно-линейной категории.
В гладкой же категории (как здесь) для последней деформации нужно использовать теорему Хефлигера о незаузленности сфер (см. [1]).
Вариации и обобщения |
Пусть M{displaystyle M}
есть гладкое m{displaystyle m}-мерное многообразие, m>1{displaystyle m>1}
.
- Если m{displaystyle m} не является степенью двойки, тогда существует вложение M{displaystyle M} в R2m−1{displaystyle mathbb {R} ^{2m-1}}
M{displaystyle M} может быть погружено в R2m−1{displaystyle mathbb {R} ^{2m-1}}
- Более того M{displaystyle M} может быть погружено в R2m−a{displaystyle mathbb {R} ^{2m-a}}
, где a{displaystyle a}
есть число единиц в двоичном представлении m{displaystyle m}.
- Последний результат оптимален, для любого m{displaystyle m} можно можно построить m{displaystyle m}-мерное многообразие (можно взять произведение вещественных проективных пространств), которое невозможно погрузить в R2m−a−1{displaystyle mathbb {R} ^{2m-a-1}}
.
См. также [4][5]
Примечания |
↑ В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий
↑ C.P. Rourke, B.J. Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972.
↑ Skopenkov, A. (1999), "New Results on embedding of polyhedra and manifolds in Euclidean spaces", Russian Math. Surveys Т. 54 (6): 1149-1196
↑ Skopenkov, A. (2008), "Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces", in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes. Т. 347 (2): 248—342, ISBN 13, <http://arxiv.org/abs/math/0604045>
↑ Классификация вложений (англ.)
