Cdtrjyty

Гипотеза Пуанкаре́ — доказанная математическая гипотеза о том, что всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере. Сформулированная в 1904 году математиком Анри Пуанкаре гипотеза была доказана в серии статей 2002—2003 годов Григорием Перельманом. После подтверждения доказательства математическим сообществом в 2006 году, гипотеза Пуанкаре стала первой и единственной на данный момент (2018 год) решённой задачей тысячелетия.

Обобщённая гипотеза Пуанкаре — утверждение о том, что всякое n{displaystyle n}-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n{displaystyle n}-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей. Основная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n=3{displaystyle n=3}. К концу XX века этот случай оставался единственным недоказанным. Таким образом доказательство Перельмана завершает и доказательство обобщённой гипотезы Пуанкаре.

Схема доказательства |

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности.
Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить.
Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае.
При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть открытую область, диффеоморфную прямому произведению (0,1)×S2{displaystyle (0,1)times S^{2}}), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию вдоль потока Риччи.

Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».
Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме.

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M{displaystyle M} и применяют к нему поток Риччи с хирургией.
Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё.
Это означает, что исходное многообразие M{displaystyle M} можно представить как набор сферических пространственных форм S3/Γi{displaystyle S^{3}/Gamma _{i}}, соединённых друг с другом трубками [0,1]×S2{displaystyle [0,1]times S^{2}}.
Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M{displaystyle M} диффеоморфно связной сумме набора пространственных форм S3/Γi{displaystyle S^{3}/Gamma _{i}} и более того все Γi{displaystyle Gamma _{i}} тривиальны.
Таким образом, M{displaystyle M} является связной суммой набора сфер, то есть сферой.

История |

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контрпример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Гипотеза Пуанкаре долгое время не привлекала внимания исследователей. В 1930-х годах Джон Уайтхед возродил интерес к гипотезе, объявив о доказательстве, но затем отказался от него. В процессе поиска он обнаружил некоторые интересные примеры односвязных некомпактных 3-многообразий, негомеоморфных R3{displaystyle mathbb {R} ^{3}}, прообраз которых известен как многообразие Уайтхеда.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n⩾5{displaystyle ngeqslant 5} получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n⩾5{displaystyle ngeqslant 5}, его доказательство было распространено на случаи n=5,6{displaystyle n=5,6} Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n=4{displaystyle n=4} было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002—2003 годах.
Впоследствии, в 2006 году, доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных^[1]. Доказательство использует модификацию потока Риччи (так называемый поток Риччи с хирургией) и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки |

• Фридман (в 1986 году) и Перельман (в 2006 году) стали Филдсовскими лауреатами.


• 
  18 марта 2010 года математический институт Клэя присудил Премию тысячелетия за доказательство гипотезы Пуанкаре Григорию Перельману^[2], который, однако, отказался её принять.

Отражение в средствах массовой информации |

• В 2006 году журнал Science назвал доказательство Перельманом гипотезы Пуанкаре научным «прорывом года»^[3]. Это первая работа по математике, заслужившая такое звание^[4].


• В 2006 году Сильвия Назар опубликовала нашумевшую^[5] статью «Многообразная судьба», которая рассказывает об истории доказательства гипотезы Пуанкаре^[6].

См. также |

• Сфера Римана

Примечания |

Литература |

• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.

Ссылки |

• 
  Perelman, Grisha (November 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG] 
  

• 
  Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG] 
  

• 
  Perelman, Grisha (July 17, 2003), "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG] 
  

• J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
  


• С. Николенко. Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // Компьютерра. — 2006. — № 1-2.


• John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.)
  


• B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman’s papers (англ.)
  


• Terence Tao Perelman’s proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)