Cdtrjyty

Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.

Определение |

Формально компактификация пространства X{displaystyle X} определяется как пара (Y,f){displaystyle (Y,;f)},
где Y{displaystyle Y} компактно,
f:X→Y{displaystyle f:Xto Y} вложение
такое, что f(X){displaystyle f(X)} плотно в Y{displaystyle Y}.

Примеры |

• 
  Вещественная проективная плоскость является компактификацией Евклидовой плоскости, для стандартного вложения.

Одноточечная компактификация |

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть Y=X∪{∞}{displaystyle Y=Xcup {infty }} и открытыми множествами в Y{displaystyle Y} считаются все открытые множества X{displaystyle X}, а также множества вида O∪{∞}{displaystyle Ocup {infty }}, где O⊆X{displaystyle Osubseteq X} имеет компактное (в X{displaystyle X}) дополнение. f{displaystyle f} берётся как естественное вложение X{displaystyle X} в Y{displaystyle Y}. (Y,f){displaystyle (Y,;f)} тогда компактификация, причём Y{displaystyle Y} хаусдорфово тогда и только тогда, когда X{displaystyle X} хаусдорфово и локально компактно.

Примеры |

• 
  R∪{∞}{displaystyle mathbb {R} cup {infty }} с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
  
  
  
  • В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с R{displaystyle mathbb {R} } (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с R∪{∞}{displaystyle mathbb {R} cup {infty }}.
  
  
  • Аналогично, Rn∪{∞}{displaystyle mathbb {R} ^{n}cup {infty }} гомеоморфно n{displaystyle n}-мерной сфере.
  
  
  
  

Компактификация Стоуна — Чеха |

На компактификациях некоторого фиксированного пространства X{displaystyle X} можно ввести частичный порядок.
Положим f1⩽f2{displaystyle f_{1}leqslant f_{2}} для двух компактификаций f1:X→Y1{displaystyle f_{1}:Xto Y_{1}}, f2:X→Y2{displaystyle f_{2}:Xto Y_{2}}, если существует непрерывное отображение g:Y2→Y1{displaystyle g:Y_{2}to Y_{1}} такое, что gf2=f1{displaystyle gf_{2}=f_{1}}.
Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха^[1] и обозначается βX{displaystyle beta X}.
Для того, чтобы у пространства X{displaystyle X} существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы X{displaystyle X} удовлетворяло аксиоме отделимости T312{displaystyle T_{3{frac {1}{2}}}}, то есть было вполне регулярным.

Примечания |