Cdtrjyty

Орбиобра́зие — неформально говоря, это многообразие с особенностями, которые выглядят как фактор евклидова пространства по конечной группе.

Один из объектов исследования в алгебраической топологии, алгебраической и дифференциальной геометрии, теории особенностей.

Орбиобразие и многообразие (сравнение определений) |

Орбиобразие определяется как хаусдорфово топологическое пространство X{displaystyle X} (называемое подлежащим пространством орбиобразия) и выделенный набор открытых отображений φα:Uα⊂Rn→X{displaystyle varphi _{alpha }colon U_{alpha }subset mathbb {R} ^{n}to X} (называемый атласом), такой, что образы φα(Uα){displaystyle varphi _{alpha }(U_{alpha })} образуют покрытие пространства X{displaystyle X}.

Атлас должен удовлетворять некоторому набору свойств, который мы описываем неформально.

В отличие от многообразия, карты не являются гомеоморфизмами, но для каждой карты φα{displaystyle varphi _{alpha }} имеется конечная группа Γα{displaystyle Gamma _{alpha }}, действующая на Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} и переводящая U{displaystyle U} в себя. Также для орбиообразий между картами существуют гомеоморфизмы сличения, но, в отличие от многообразий, они не единственны и переводятся друг в друга под действием соответствующих групп.

Примеры |

• Пара многообразие M{displaystyle M} с действием дискретной группы диффеоморфизмов Γ{displaystyle Gamma } задаёт орбиобразие с подлежащим пространством M/Γ{displaystyle M/Gamma }.
  
  • Такие орбиобразия называются хорошими, в случае если такого представления не существует, то орбиобразие называется плохим.
  
  


• Примеры орбиобразий с двумерной сферой S2=C^{displaystyle mathbb {S} ^{2}={hat {mathbb {C} }}} как подлежащие пространство можно получить задав две карты f,g:C→C^{displaystyle f,;gcolon mathbb {C} to {hat {mathbb {C} }}}, f(z)=zm{displaystyle f(z)=z^{m}} и g(z)=1/zn{displaystyle g(z)=1/z^{n}} для натуральных чисел m{displaystyle m} и n{displaystyle n}.
  
  • Это орбиобразие является хорошим тогда и только тогда, когда n=m{displaystyle n=m}.
  
  

История |

Впервые орбиобразия были рассмотрены Сатаке (англ.), который назвал их V-многообразиями. Термин «орбиобразие» (англ. orbifold) был введён позже Тёрстоном.

Оба определяли орбиобразие как фактор многообразия по действию группы (в современной терминологии, они определяли «хорошие орбиобразия»). Позже Андре Хафлигер дал более общее определение через группоиды, которое является стандартным современным определением.

Литература |

• 
  Арнольд, В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. — М.: ФАЗИС, 1996. — 334 с. — ISBN 978-5-7036-0021-4.


• Каку, Мичио. Введение в теорию суперструн / пер. с англ. Г. Э. Арутюнова, А. Д. Попова, С. В. Чудова; под ред. И. Я. Арефьевой. — М.: Мир, 1999. — 624 с. — ISBN 5-03-002518-9.


• 
  Кетов, С. В. Введение в квантовую теорию струн и суперструн. — Новосибирск: Наука, 1990. — 368 с. — ISBN 5-02-029660-0.


• 
  Скотт П. Геометрия на трёхмерных многообразиях. — М.: Мир, 1986.


• 
  Dixon L., Harwey J. A., Vafa C., Witten E. Strings on orbifolds // Nucl. Phys., 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.

В другом языковом разделе есть более полная статья Orbifold (англ.) Вы можете помочь проекту, расширив текущую статью с помощью перевода. При этом, для соблюдения правил атрибуции, следует установить шаблон {{переведённая статья}} на страницу обсуждения, либо указать ссылку на статью-источник в комментарии к правке.