Cdtrjyty

Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.

В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} с введённым на нём положительно определённым скалярным произведением, либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. В этой статье за исходное будет взято первое определение.

n{displaystyle n}-мерное евклидово пространство обозначается En,{displaystyle mathbb {E} ^{n},} также часто используется обозначение Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} (если из контекста ясно, что пространство обладает евклидовой структурой).

Формальное определение |

Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция (⋅,⋅),{displaystyle (cdot ,cdot ),} обладающая следующими тремя свойствами:

• 
  Билинейность: для любых векторов u,v,w{displaystyle u,v,w} и для любых вещественных чисел a,b(au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w){displaystyle a,bquad (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w)} и (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);{displaystyle (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);}
  


• Симметричность: для любых векторов u,v(u,v)=(v,u);{displaystyle u,vquad (u,v)=(v,u);}
  


• Положительная определённость: для любого u(u,u)⩾0,{displaystyle uquad (u,u)geqslant 0,} причём (u,u)=0⇒u=0.{displaystyle (u,u)=0Rightarrow u=0.}
  

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством, или просто евклидовым пространством^[1].

Пример евклидова пространства — координатное пространство Rn,{displaystyle mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных кортежей вещественных чисел (x1,x2,…,xn),{displaystyle (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}),} скалярное произведение в котором определяется формулой (x,y)=∑i=1nxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn.{displaystyle (x,y)=sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы |

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора u{displaystyle u} определяется как (u,u){displaystyle {sqrt {(u,u)}}} и обозначается |u|.{displaystyle |u|.}^[2][3] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что |au|=|a||u|,{displaystyle |au|=|a||u|,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами u{displaystyle u} и v{displaystyle v} определяется по формуле φ=arccos⁡((x,y)|x||y|).{displaystyle varphi =arccos left({frac {(x,y)}{|x||y|}}right).} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы, угол между которыми равен π2.{displaystyle {frac {pi }{2}}.}

Неравенство Коши — Буняковского — Шварца и неравенство треугольника |

В данном выше определении угла остался один пробел: для того, чтобы arccos⁡((x,y)|x||y|){displaystyle arccos left({frac {(x,y)}{|x||y|}}right)} был определён, необходимо, чтобы выполнялось неравенство |(x,y)|x||y||⩽1.{displaystyle left|{frac {(x,y)}{|x||y|}}right|leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве, оно называется неравенством Коши — Буняковского — Шварца. Из этого неравенства, в свою очередь, следует неравенство треугольника: |u+v|⩽|u|+|v|.{displaystyle |u+v|leqslant |u|+|v|.} Неравенство треугольника, вместе с перечисленными выше свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d(x,y)=|x−y|{displaystyle d(x,y)=|x-y|} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x{displaystyle x} и y{displaystyle y} координатного пространства Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d(x,y)=‖x−y‖=∑i=1n(xi−yi)2.{displaystyle d(mathbf {x} ,mathbf {y} )=|mathbf {x} -mathbf {y} |={sqrt {sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Алгебраические свойства |

Ортонормированные базисы |

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами (a1,a2,…,an){displaystyle (a_{1},a_{2},ldots ,a_{n})} и (b1,b2,…,bn){displaystyle (b_{1},b_{2},ldots ,b_{n})} в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле (a,b)=a1b1+a2b2+⋯+anbn.{displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+cdots +a_{n}b_{n}.} В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны (в частности, n{displaystyle n}-мерное евклидово пространство изоморфно Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} со стандартным скалярным произведением).

Ортогональные проекции |

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора x{displaystyle x} на подпространство U{displaystyle U} — это вектор h,{displaystyle h,} ортогональный U,{displaystyle U,} такой что x{displaystyle x} представим в виде u+h,{displaystyle u+h,} где u∈U.{displaystyle uin U.} Расстояние между концами векторов u{displaystyle u} и x{displaystyle x} является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора x{displaystyle x} до подпространства U.{displaystyle U.} Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует, для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Сопряжённые пространства и операторы |

Любой вектор x{displaystyle x} евклидова пространства задаёт линейный функционал x∗{displaystyle x^{*}} на этом пространстве, определяемый как x∗(y)=(x,y).{displaystyle x^{*}(y)=(x,y).} Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством^[4] и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.

Движения евклидова пространства |

Движения евклидова пространства — это преобразования, сохраняющие метрику (также называются изометриями). Пример движения — параллельный перенос на вектор v{displaystyle v}, переводящий точку p{displaystyle p} в точку p+v{displaystyle p+v}. Нетрудно увидеть, что любое движение является композицией параллельного переноса и преобразования, сохраняющего неподвижной одну точку. Выбрав неподвижную точку за начало координат, любое такое движение можно рассматривать как ортогональное преобразование. Ортогональные преобразования n-мерного евклидова пространства образуют группу, обозначаемую O(n). Выбрав в пространстве ортонормированный базис, эту группу можно представить как группу матриц n × n, удовлетворяющих условию QTQ=E{displaystyle Q^{mathsf {T}}Q=E}, где QT{displaystyle Q^{mathsf {T}}} — транспонированная матрица, а E{displaystyle E} — единичная матрица.

Примеры |

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

• 
  E1{displaystyle mathbb {E} ^{1}} размерности 1{displaystyle 1} (вещественная прямая),


• 
  E2{displaystyle mathbb {E} ^{2}} размерности 2{displaystyle 2} (евклидова плоскость),


• 
  E3{displaystyle mathbb {E} ^{3}} размерности 3{displaystyle 3} (евклидово трёхмерное пространство).

Более абстрактный пример:

• пространство вещественных многочленов p(x){displaystyle p(x)} степени, не превосходящей n{displaystyle n}, со скалярным произведением, определённым как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией, например e−x2{displaystyle e^{-x^{2}}}).

Примеры геометрических фигур в многомерном евклидовом пространстве |

• 
  Правильные многомерные многогранники (в частности, N-мерный куб, N-мерный октаэдр, N-мерный тетраэдр)


• Гиперсфера

Связанные определения |

• Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.

• Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.

• Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения |

• Замена основного поля с поля вещественных чисел на поле комплексных чисел даёт определение унитарного (или эрмитова) пространства.


• Отказ от требования конечномерности даёт определение предгильбертова пространства.


• Отказ от требования положительной определённости скалярного произведения приводит к определению псевдоевклидова пространства.

Примечания |

Литература |

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.


• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Наука, 1986. — 304 с.