Cdtrjyty

Ссылки на статьи о тригонометрии

Тригонометрия

Обзор тригонометрии (англ.) История Использование (англ.) Функции (Обратные) Обобщённая тригонометрия (англ.)

Справочник

Тождества Точные константы (англ.) Таблицы Единичная окружность

Законы и теоремы

Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников

Математический анализ

Тригонометрическая подстановка (англ.) Интегралы (обратные функции) Производные (англ.)

Рис. 1.
Графики тригонометрических функций:      синуса,      косинуса,      тангенса,      котангенса,      секанса,      косеканса

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что равнозначно, зависимость хорд и высот от центрального угла (дуги) в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции:

• синус (sin⁡x{displaystyle sin x});


• косинус (cos⁡x{displaystyle cos x});

производные тригонометрические функции:

• тангенс (tgx{displaystyle mathrm {tg} ,x});


• котангенс (ctgx{displaystyle mathrm {ctg} ,x});

другие тригонометрические функции:

• секанс (sec⁡x{displaystyle sec x});


• косеканс (cosecx{displaystyle mathrm {cosec} ,x}).

В английской и американской литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan⁡x{displaystyle tan x}, cot⁡x{displaystyle cot x}, csc⁡x{displaystyle csc x}. До Второй мировой войны в Германии и во Франции эти функции обозначались так же, как принято в русскоязычных текстах^[1], но потом эти страны перешли на англо-американский стандарт.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т. д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента представляют собой периодические, непрерывные и бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и бесконечно дифференцируемые в области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±πn+π2{displaystyle pm pi n+{frac {pi }{2}}}, а котангенс и косеканс — в точках ±πn{displaystyle pm pi n}.

Графики тригонометрических функций показаны на рис. 1.

Способы определения |

Геометрическое определение |

Рис. 2.
Определение тригонометрических функций

Рис. 3.
Численные значения тригонометрических функций угла α{displaystyle alpha } в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически^[2]. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R{displaystyle R} с центром в начале координат O{displaystyle O}. Всякий угол можно рассматривать как поворот от положительного направления оси абсцисс до некоторого луча OB{displaystyle OB}, при этом направление поворота против часовой стрелки считается положительным, а по часовой стрелке — отрицательным. Абсциссу точки B{displaystyle B} обозначим xB{displaystyle x_{B}}, ординату обозначим yB{displaystyle y_{B}} (см. рисунок 2).

• Синусом называется отношение sin⁡α=yBR.{displaystyle sin alpha ={frac {y_{B}}{R}}.}
  


• Косинусом называется отношение cos⁡α=xBR.{displaystyle cos alpha ={frac {x_{B}}{R}}.}
  


• Тангенс определяется как tg⁡α=sin⁡αcos⁡α=yBxB.{displaystyle operatorname {tg} alpha ={frac {sin alpha }{cos alpha }}={frac {y_{B}}{x_{B}}}.}
  


• Котангенс определяется как ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α=xByB.{displaystyle operatorname {ctg} alpha ={frac {cos alpha }{sin alpha }}={frac {x_{B}}{y_{B}}}.}
  


• Секанс определяется как sec⁡α=1cos⁡α=RxB.{displaystyle sec alpha ={frac {1}{cos alpha }}={frac {R}{x_{B}}}.}
  


• Косеканс определяется как cosec⁡α=1sin⁡α=RyB.{displaystyle operatorname {cosec} alpha ={frac {1}{sin alpha }}={frac {R}{y_{B}}}.}
  

В силу свойств подобных фигур значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R{displaystyle R}. Часто радиус принимают равным величине единичного отрезка; тогда синус равен ординате yB{displaystyle y_{B}}, а косинус — абсциссе xB{displaystyle x_{B}}. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α{displaystyle alpha } — вещественное число, то синусом α{displaystyle alpha } в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α{displaystyle alpha }. Аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов |

Рис. 4.
Тригонометрические функции острого угла

В школьном курсе геометрии тригонометрические функции
острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника^[3]. Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Тогда:

• синусом угла α{displaystyle alpha } называется отношение ABOB{displaystyle {frac {AB}{OB}}} (отношение противолежащего катета к гипотенузе);


• косинусом угла α{displaystyle alpha } называется отношение OAOB{displaystyle {frac {OA}{OB}}} (отношение прилежащего катета к гипотенузе);


• тангенсом угла α{displaystyle alpha } называется отношение ABOA{displaystyle {frac {AB}{OA}}} (отношение противолежащего катета к прилежащему);


• котангенсом угла α{displaystyle alpha } называется отношение OAAB{displaystyle {frac {OA}{AB}}} (отношение прилежащего катета к противолежащему);


• секансом угла α{displaystyle alpha } называется отношение OBOA{displaystyle {frac {OB}{OA}}} (отношение гипотенузы к прилежащему катету);


• косекансом угла α{displaystyle alpha } называется отношение OBAB{displaystyle {frac {OB}{AB}}} (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке O{displaystyle O}, направлением оси абсцисс вдоль OA{displaystyle OA} и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое методическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач о тупоугольных треугольниках. (См.: теорема синусов, теорема косинусов).

Тригонометрические функции являются периодическими функциями с периодами 2π{displaystyle 2pi } (360°) для синуса, косинуса, секанса и косеканса, и π{displaystyle pi } (180°) для тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции любого угла можно свести к тригонометрическим функциям острого угла, используя их периодичность и так называемые формулы приведения.
Это необходимо, например, для нахождения значений тригонометрических функций по таблицам, поскольку в таблицах обычно приводятся значения только для острых углов.

Исследование функций в математическом анализе |

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений |

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решения дифференциального уравнения

d2dφ2R(φ)=−R(φ),{displaystyle {frac {d^{2}}{dvarphi ^{2}}}R(varphi )=-R(varphi ),}

с дополнительными условиями:
R(0)=1{displaystyle R(0)=1} для косинуса и R′(0)=1{displaystyle R'(0)=1} для синуса, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

 (cos⁡x)″=−cos⁡x,{displaystyle left(cos xright)''=-cos x,}

 (sin⁡x)″=−sin⁡x.{displaystyle left(sin xright)''=-sin x.}

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений |

Функции косинус и синус можно определить^[4]
как решения (f{displaystyle f} и g{displaystyle g} соответственно) системы функциональных уравнений:

{f(x+y)=f(x)f(y)−g(x)g(y)g(x+y)=g(x)f(y)+f(x)g(y){displaystyle left{{begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)end{array}}right.}

при дополнительных условиях:

f(x)2+g(x)2=1,{displaystyle f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,} g(π/2)=1,{displaystyle g(pi /2)=1,} и 0<g(x)<1{displaystyle 0<g(x)<1} при 0<x<π/2{displaystyle 0<x<pi /2}.

Определение тригонометрических функций через ряды |

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу, и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+x99!−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!,{displaystyle sin x=x-{frac {x^{3}}{3!}}+{frac {x^{5}}{5!}}-{frac {x^{7}}{7!}}+{frac {x^{9}}{9!}}-cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+x88!−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!.{displaystyle cos x=1-{frac {x^{2}}{2!}}+{frac {x^{4}}{4!}}-{frac {x^{6}}{6!}}+{frac {x^{8}}{8!}}-cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}

Пользуясь этими формулами, а также равенствами tgx=sin⁡xcos⁡x,{displaystyle operatorname {tg} ,x={frac {sin x}{cos x}},} ctgx=cos⁡xsin⁡x,{displaystyle operatorname {ctg} ,x={frac {cos x}{sin x}},} sec⁡x=1cos⁡x{displaystyle sec x={frac {1}{cos x}}} и cosecx=1sin⁡x,{displaystyle operatorname {cosec} ,x={frac {1}{sin x}},} можно найти разложения в ряд и других тригонометрических функций:

tgx=x+13x3+215x5+17315x7+622835x9+⋯=∑n=1∞22n(22n−1)|B2n|(2n)!x2n−1(−π2<x<π2),{displaystyle {operatorname {tg} ,x=x+{frac {1}{3}},x^{3}+{frac {2}{15}},x^{5}+{frac {17}{315}},x^{7}+{frac {62}{2835}},x^{9}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}quad left(-{frac {pi }{2}}<x<{frac {pi }{2}}right),}}

ctgx=1x−x3−x345−2x5945−x74725−⋯=1x−∑n=1∞22n|B2n|(2n)!x2n−1(−π<x<π),{displaystyle {operatorname {ctg} ,x={frac {1}{x}}-{frac {x}{3}}-{frac {x^{3}}{45}}-{frac {2x^{5}}{945}}-{frac {x^{7}}{4725}}-cdots ={frac {1}{x}}-sum _{n=1}^{infty }{frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}},x^{2n-1}quad left(-pi <x<pi right),}}

sec⁡x=1+12x2+524x4+61720x6+2778064x8+⋯=∑n=0∞|En|(2n)!x2n,(−π2<x<π2),{displaystyle {sec x=1+{frac {1}{2}},x^{2}+{frac {5}{24}},x^{4}+{frac {61}{720}},x^{6}+{frac {277}{8064}},x^{8}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{frac {|E_{n}|}{(2n)!}},x^{2n},quad left(-{frac {pi }{2}}<x<{frac {pi }{2}}right),}}

cosec⁡x=1x+16x+7360x3+3115120x5+127604800x7+⋯=1x+∑n=1∞2(22n−1−1)|B2n|(2n)!x2n−1(−π<x<π),{displaystyle operatorname {cosec} x={frac {1}{x}}+{frac {1}{6}},x+{frac {7}{360}},x^{3}+{frac {31}{15120}},x^{5}+{frac {127}{604800}},x^{7}+cdots ={frac {1}{x}}+sum _{n=1}^{infty }{frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}},x^{2n-1}quad left(-pi <x<pi right),}

где

Bn{displaystyle B_{n}} — числа Бернулли,

En{displaystyle E_{n}} — числа Эйлера.

Разложение в бесконечные произведения |

Тригонометрические функции могут быть представлены в виде бесконечного произведения многочленов:

sin⁡x=x∏n=1∞(1−x2π2n2),{displaystyle sin x=x,prod _{n=1}^{infty }left(1-{frac {x^{2}}{pi ^{2}n^{2}}}right),}

cos⁡x=∏n=0∞(1−4x2π2(2n+1)2).{displaystyle cos x=prod _{n=0}^{infty }left(1-{frac {4x^{2}}{pi ^{2}(2n+1)^{2}}}right).}

Эти соотношения выполняются при любом значении x{displaystyle x}.

Цепные дроби |

tg⁡x=x1−x23−x25−x27−x2⋱.{displaystyle mathop {rm {tg}} x={frac {x}{1-{frac {x^{2}}{3-{frac {x^{2}}{5-{frac {x^{2}}{7-{frac {x^{2}}{ddots }}}}}}}}}}.}

Производные и первообразные |

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

(sin⁡x)′=cos⁡x,{displaystyle (sin x)'=cos x,,}

(cos⁡x)′=−sin⁡x,{displaystyle (cos x)'=-sin x,,}

(tg⁡x)′=1cos2⁡x=1+tg2⁡x=sec2⁡x,{displaystyle (operatorname {tg} x)'={frac {1}{cos ^{2}x}}=1+operatorname {tg} ^{2}x=sec ^{2}x,}

(ctg⁡x)′=−1sin2⁡x=−cosec2⁡x,{displaystyle (operatorname {ctg} x)'=-{frac {1}{sin ^{2}x}}=-operatorname {cosec} ^{2}x,}

(sec⁡x)′=sin⁡xcos2⁡x=sec⁡xtg⁡x,{displaystyle (sec x)'={frac {sin x}{cos ^{2}x}}=sec xoperatorname {tg} x,}

(cosec⁡ x)′=−cos⁡xsin2⁡x.{displaystyle (operatorname {cosec} ~x)'=-{frac {cos x}{sin ^{2}x}}.}

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом^[5]:

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C,{displaystyle int sin x,dx=-cos x+C,,}

∫cos⁡xdx=sin⁡x+C,{displaystyle int cos x,dx=sin x+C,,}

∫tg⁡xdx=−ln⁡|cos⁡x|+C,{displaystyle int operatorname {tg} x,dx=-ln left|cos xright|+C,,}

∫ctg⁡xdx=ln⁡|sin⁡x|+C,{displaystyle int operatorname {ctg} x,dx=ln left|sin xright|+C,,}

∫sec⁡xdx=ln⁡|tg(π4+x2)|+C,{displaystyle int sec x,dx=ln left|operatorname {tg} ,left({frac {pi }{4}}+{frac {x}{2}}right)right|+C,,}

∫cosec⁡ xdx=ln⁡|tgx2|+C.{displaystyle int operatorname {cosec} ~x,dx=ln left|operatorname {tg} ,{frac {x}{2}}right|+C.}

Значения тригонометрических функций для некоторых углов |

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

Значения косинуса и синуса на окружности

α{displaystyle alpha }	0=0∘{displaystyle 0=0^{circ }}	π6=30∘{displaystyle {frac {pi }{6}}=30^{circ }}	π4=45∘{displaystyle {frac {pi }{4}}=45^{circ }}	π3=60∘{displaystyle {frac {pi }{3}}=60^{circ }}	π2=90∘{displaystyle {frac {pi }{2}}=90^{circ }}	π=180∘{displaystyle pi =180^{circ }}	3π2=270∘{displaystyle {frac {3pi }{2}}=270^{circ }}	2π=360∘{displaystyle 2pi =360^{circ }}
sin⁡α{displaystyle sin alpha }	0{displaystyle 0}	12{displaystyle {frac {1}{2}}}	22{displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}}	32{displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}}}	1{displaystyle 1}	0{displaystyle 0}	−1{displaystyle -1}	0{displaystyle 0}
cos⁡α{displaystyle cos alpha }	1{displaystyle 1}	32{displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}}}	22{displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}}	12{displaystyle {frac {1}{2}}}	0{displaystyle 0}	−1{displaystyle -1}	0{displaystyle 0}	1{displaystyle 1}
tgα{displaystyle operatorname {tg} ,alpha }	0{displaystyle 0}	33{displaystyle {frac {sqrt {3}}{3}}}	1{displaystyle 1}	3{displaystyle {sqrt {3}}}	∞{displaystyle infty }	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }	0{displaystyle 0}
ctgα{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha }	∞{displaystyle infty }	3{displaystyle {sqrt {3}}}	1{displaystyle 1}	33{displaystyle {frac {sqrt {3}}{3}}}	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }	0{displaystyle 0}	∞{displaystyle infty }
sec⁡α{displaystyle sec alpha }	1{displaystyle 1}	233{displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}	2{displaystyle {sqrt {2}}}	2{displaystyle 2}	∞{displaystyle infty }	−1{displaystyle -1}	∞{displaystyle infty }	1{displaystyle 1}
cosecα{displaystyle operatorname {cosec} ,alpha }	∞{displaystyle infty }	2{displaystyle 2}	2{displaystyle {sqrt {2}}}	233{displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}	1{displaystyle 1}	∞{displaystyle infty }	−1{displaystyle -1}	∞{displaystyle infty }

Значения тригонометрических функций нестандартных углов |

α{displaystyle alpha }	2π3=120∘{displaystyle {frac {2pi }{3}}=120^{circ }}	3π4=135∘{displaystyle {frac {3pi }{4}}=135^{circ }}	5π6=150∘{displaystyle {frac {5pi }{6}}=150^{circ }}	7π6=210∘{displaystyle {frac {7pi }{6}}=210^{circ }}	5π4=225∘{displaystyle {frac {5pi }{4}}=225^{circ }}	4π3=240∘{displaystyle {frac {4pi }{3}}=240^{circ }}	5π3=300∘{displaystyle {frac {5pi }{3}}=300^{circ }}	7π4=315∘{displaystyle {frac {7pi }{4}}=315^{circ }}	11π6=330∘{displaystyle {frac {11pi }{6}}=330^{circ }}
sin⁡α{displaystyle sin alpha }	32{displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}}}	22{displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}}	12{displaystyle {frac {1}{2}}}	−12{displaystyle -{frac {1}{2}}}	−22{displaystyle -{frac {sqrt {2}}{2}}}	−32{displaystyle -{frac {sqrt {3}}{2}}}	−32{displaystyle -{frac {sqrt {3}}{2}}}	−22{displaystyle -{frac {sqrt {2}}{2}}}	−12{displaystyle -{frac {1}{2}}}
cos⁡α{displaystyle cos alpha }	−12{displaystyle -{frac {1}{2}}}	−22{displaystyle -{frac {sqrt {2}}{2}}}	−32{displaystyle -{frac {sqrt {3}}{2}}}	−32{displaystyle -{frac {sqrt {3}}{2}}}	−22{displaystyle -{frac {sqrt {2}}{2}}}	−12{displaystyle -{frac {1}{2}}}	12{displaystyle {frac {1}{2}}}	22{displaystyle {frac {sqrt {2}}{2}}}	32{displaystyle {frac {sqrt {3}}{2}}}
tgα{displaystyle operatorname {tg} ,alpha }	−3{displaystyle -{sqrt {3}}}	−1{displaystyle -1}	−33{displaystyle -{frac {sqrt {3}}{3}}}	33{displaystyle {frac {sqrt {3}}{3}}}	1{displaystyle 1}	3{displaystyle {sqrt {3}}}	−3{displaystyle -{sqrt {3}}}	−1{displaystyle -1}	−33{displaystyle -{frac {sqrt {3}}{3}}}
ctgα{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha }	−33{displaystyle -{frac {sqrt {3}}{3}}}	−1{displaystyle -1}	−3{displaystyle -{sqrt {3}}}	3{displaystyle {sqrt {3}}}	1{displaystyle 1}	33{displaystyle {frac {sqrt {3}}{3}}}	−33{displaystyle -{frac {sqrt {3}}{3}}}	−1{displaystyle -1}	−3{displaystyle -{sqrt {3}}}
sec⁡α{displaystyle sec alpha }	−2{displaystyle -2}	−2{displaystyle -{sqrt {2}}}	−233{displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}}	−233{displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}}	−2{displaystyle -{sqrt {2}}}	−2{displaystyle -2}	2{displaystyle 2}	2{displaystyle {sqrt {2}}}	233{displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}
cosecα{displaystyle operatorname {cosec} ,alpha }	233{displaystyle {frac {2{sqrt {3}}}{3}}}	2{displaystyle {sqrt {2}}}	2{displaystyle 2}	−2{displaystyle -2}	−2{displaystyle -{sqrt {2}}}	−233{displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}}	−233{displaystyle -{frac {2{sqrt {3}}}{3}}}	−2{displaystyle -{sqrt {2}}}	−2{displaystyle -2}

α{displaystyle alpha }	π12=15∘{displaystyle {frac {pi }{12}}=15^{circ }}	π10=18∘{displaystyle {frac {pi }{10}}=18^{circ }}	π8=22,5∘{displaystyle {frac {pi }{8}}=22{,}5^{circ }}	π5=36∘{displaystyle {frac {pi }{5}}=36^{circ }}	3π10=54∘{displaystyle {frac {3pi }{10}}=54^{circ }}	3π8=67,5∘{displaystyle {frac {3pi }{8}}=67{,}5^{circ }}	2π5=72∘{displaystyle {frac {2pi }{5}}=72^{circ }}	5π12=75∘{displaystyle {frac {5pi }{12}}=75^{circ }}
sin⁡α{displaystyle sin alpha }	2−32{displaystyle {frac {sqrt {2-{sqrt {3}}}}{2}}}	5−14{displaystyle {frac {{sqrt {5}}-1}{4}}}	2−22{displaystyle {frac {sqrt {2-{sqrt {2}}}}{2}}}	10−254{displaystyle {frac {sqrt {10-2{sqrt {5}}}}{4}}}	5+14{displaystyle {frac {{sqrt {5}}+1}{4}}}	2+22{displaystyle {frac {sqrt {2+{sqrt {2}}}}{2}}}	10+254{displaystyle {frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}}	2+32{displaystyle {frac {sqrt {2+{sqrt {3}}}}{2}}}
cos⁡α{displaystyle cos alpha }	2+32{displaystyle {frac {sqrt {2+{sqrt {3}}}}{2}}}	10+254{displaystyle {frac {sqrt {10+2{sqrt {5}}}}{4}}}	2+22{displaystyle {frac {sqrt {2+{sqrt {2}}}}{2}}}	5+14{displaystyle {frac {{sqrt {5}}+1}{4}}}	10−254{displaystyle {frac {sqrt {10-2{sqrt {5}}}}{4}}}	2−22{displaystyle {frac {sqrt {2-{sqrt {2}}}}{2}}}	5−14{displaystyle {frac {{sqrt {5}}-1}{4}}}	2−32{displaystyle {frac {sqrt {2-{sqrt {3}}}}{2}}}
tgα{displaystyle operatorname {tg} ,alpha }	2−3{displaystyle 2-{sqrt {3}}}	25−1055{displaystyle {frac {sqrt {25-10{sqrt {5}}}}{5}}}	2−1{displaystyle {sqrt {2}}-1}	5−25{displaystyle {sqrt {5-2{sqrt {5}}}}}	25+1055{displaystyle {frac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{5}}}	2+1{displaystyle {sqrt {2}}+1}	5+25{displaystyle {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}	2+3{displaystyle 2+{sqrt {3}}}
ctgα{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha }	2+3{displaystyle 2+{sqrt {3}}}	5+25{displaystyle {sqrt {5+2{sqrt {5}}}}}	2+1{displaystyle {sqrt {2}}+1}	25+1055{displaystyle {frac {sqrt {25+10{sqrt {5}}}}{5}}}	5−25{displaystyle {sqrt {5-2{sqrt {5}}}}}	2−1{displaystyle {sqrt {2}}-1}	25−1055{displaystyle {frac {sqrt {25-10{sqrt {5}}}}{5}}}	2−3{displaystyle 2-{sqrt {3}}}
sec⁡α{displaystyle sec alpha }	22−3{displaystyle 2{sqrt {2-{sqrt {3}}}}}	50−1055{displaystyle {frac {sqrt {50-10{sqrt {5}}}}{5}}}	4−22{displaystyle {sqrt {4-2{sqrt {2}}}}}	5−1{displaystyle {sqrt {5}}-1}	50+1055{displaystyle {frac {sqrt {50+10{sqrt {5}}}}{5}}}	4+22{displaystyle {sqrt {4+2{sqrt {2}}}}}	5+1{displaystyle {sqrt {5}}+1}	22+3{displaystyle 2{sqrt {2+{sqrt {3}}}}}
cosecα{displaystyle operatorname {cosec} ,alpha }	22+3{displaystyle 2{sqrt {2+{sqrt {3}}}}}	5+1{displaystyle {sqrt {5}}+1}	4+22{displaystyle {sqrt {4+2{sqrt {2}}}}}	50+1055{displaystyle {frac {sqrt {50+10{sqrt {5}}}}{5}}}	5−1{displaystyle {sqrt {5}}-1}	4−22{displaystyle {sqrt {4-2{sqrt {2}}}}}	50−1055{displaystyle {frac {sqrt {50-10{sqrt {5}}}}{5}}}	22−3{displaystyle 2{sqrt {2-{sqrt {3}}}}}

Свойства тригонометрических функций |

Простейшие тождества |

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

sin2⁡α+cos2⁡α=1.{displaystyle sin ^{2}alpha +cos ^{2}alpha =1.}

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

1+tg2α=sec2α,{displaystyle 1+mathop {mathrm {tg} } ,^{2}alpha =mathop {mathrm {sec} } ,^{2}alpha ,}

1+ctg2α=cosec2α.{displaystyle 1+mathop {mathrm {ctg} } ,^{2}alpha =mathop {mathrm {cosec} } ,^{2}alpha .}

Из определения тангенса и котангенса следует, что

tgα⋅ctgα=1.{displaystyle mathop {mathrm {tg} } ,alpha cdot mathop {mathrm {ctg} } ,alpha =1.}

Любую тригонометрическую функцию можно выразить через любую другую тригонометрическую функцию с тем же аргументом^[6]:

	sin	cos	tg	ctg	sec	cosec
sin⁡x={displaystyle ,sin x=}	sin⁡x{displaystyle ,sin x}	1−cos2⁡x{displaystyle {sqrt {1-cos ^{2}x}}}	tg⁡x1+tg2⁡x{displaystyle {frac {operatorname {tg} x}{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}}}	1ctg2⁡x+1{displaystyle {frac {1}{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}}	sec2⁡x−1sec⁡x{displaystyle {frac {sqrt {sec ^{2}x-1}}{sec x}}}	1cosec⁡x{displaystyle {frac {1}{operatorname {cosec} x}}}
cos⁡x={displaystyle ,cos x=}	1−sin2⁡x{displaystyle ,{sqrt {1-sin ^{2}x}}}	cos⁡x{displaystyle ,cos x}	11+tg2⁡x{displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}}}	ctg⁡xctg2⁡x+1{displaystyle ,{frac {operatorname {ctg} x}{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}}	1sec⁡x{displaystyle ,{frac {1}{sec x}}}	cosec2⁡x−1cosec⁡x{displaystyle ,{frac {sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}{operatorname {cosec} x}}}
tg⁡x={displaystyle ,operatorname {tg} x=}	sin⁡x1−sin2⁡x{displaystyle ,{frac {sin x}{sqrt {1-sin ^{2}x}}}}	1−cos2⁡xcos⁡x{displaystyle ,{frac {sqrt {1-cos ^{2}x}}{cos x}}}	tg⁡x{displaystyle ,operatorname {tg} x}	1ctg⁡x{displaystyle ,{frac {1}{operatorname {ctg} x}}}	sec2⁡x−1{displaystyle ,{sqrt {sec ^{2}x-1}}}	1cosec2⁡x−1{displaystyle ,{frac {1}{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}}
ctg⁡x={displaystyle ,operatorname {ctg} x=}	1−sin2⁡xsin⁡x{displaystyle ,{frac {sqrt {1-sin ^{2}x}}{sin x}}}	cos⁡x1−cos2⁡x{displaystyle ,{frac {cos x}{sqrt {1-cos ^{2}x}}}}	1tg⁡x{displaystyle ,{frac {1}{operatorname {tg} x}}}	ctg⁡x{displaystyle ,operatorname {ctg} x}	1sec2⁡x−1{displaystyle ,{frac {1}{sqrt {sec ^{2}x-1}}}}	cosec2⁡x−1{displaystyle ,{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}
sec⁡x={displaystyle ,sec x=}	11−sin2⁡x{displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1-sin ^{2}x}}}}	1cos⁡x{displaystyle ,{frac {1}{cos x}}}	1+tg2⁡x{displaystyle ,{sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}}	ctg2⁡x+1ctg⁡x{displaystyle ,{frac {sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}{operatorname {ctg} x}}}	sec⁡x{displaystyle ,sec x}	cosec⁡xcosec2⁡x−1{displaystyle ,{frac {operatorname {cosec} x}{sqrt {operatorname {cosec} ^{2}x-1}}}}
cosec⁡x={displaystyle ,operatorname {cosec} x=}	1sin⁡x{displaystyle ,{frac {1}{sin x}}}	11−cos2⁡x{displaystyle ,{frac {1}{sqrt {1-cos ^{2}x}}}}	1+tg2⁡xtg⁡x{displaystyle ,{frac {sqrt {1+operatorname {tg} ^{2}x}}{operatorname {tg} x}}}	ctg2⁡x+1{displaystyle ,{sqrt {operatorname {ctg} ^{2}x+1}}}	sec⁡xsec2⁡x−1{displaystyle ,{frac {sec x}{sqrt {sec ^{2}x-1}}}}	cosec⁡x{displaystyle ,operatorname {cosec} x}

Непрерывность |

• Синус и косинус — непрерывные функции.


• Тангенс и секанс имеют точки разрыва ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, …, ±(n + 1/2)π, … (в градусной мере: ±90°, ±270°, ±450°, …, ±(n + 1/2)·180°, …).


• Котангенс и косеканс имеют точки разрыва 0, ±π, ±2π, …, ±nπ, … (в градусной мере: 0°, ±180°, ±360°, …, ±n·180°, …).

Чётность |

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

sin⁡(−α)=−sin⁡α,{displaystyle sin left(-alpha right)=-sin alpha ,,}

cos⁡(−α)=cos⁡α,{displaystyle cos left(-alpha right)=cos alpha ,,}

tg(−α)=−tgα,{displaystyle mathop {mathrm {tg} } ,left(-alpha right)=-mathop {mathrm {tg} } ,alpha ,,}

ctg(−α)=−ctgα,{displaystyle mathop {mathrm {ctg} } ,left(-alpha right)=-mathop {mathrm {ctg} } ,alpha ,,}

sec⁡(−α)=sec⁡α,{displaystyle sec left(-alpha right)=sec alpha ,,}

cosec(−α)=−cosecα.{displaystyle mathop {mathrm {cosec} } ,left(-alpha right)=-mathop {mathrm {cosec} } ,alpha ,.}

Периодичность |

Функции y=sinx,y=cosx,y=secx,y=cosecx{displaystyle y=mathop {mathrm {sin} } ,x,quad y=mathop {mathrm {cos} } ,x,quad y=mathop {mathrm {sec} } ,x,quad y=mathop {mathrm {cosec} } ,x} — периодические с периодом 2π{displaystyle 2pi }, функции y=tgx{displaystyle y=mathop {mathrm {tg} } ,x} и y=ctgx{displaystyle y=mathop {mathrm {ctg} } ,x} — c периодом π{displaystyle pi }.

Формулы приведения |

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

f(nπ+α)=±f(α),{displaystyle f(npi +alpha )=pm f(alpha ),}

f(nπ−α)=±f(α),{displaystyle f(npi -alpha )=pm f(alpha ),}

f((2n+1)π2+α)=±g(α),{displaystyle fleft({frac {(2n+1)pi }{2}}+alpha right)=pm g(alpha ),}

f((2n+1)π2−α)=±g(α).{displaystyle fleft({frac {(2n+1)pi }{2}}-alpha right)=pm g(alpha ).}

Здесь f{displaystyle f} — любая тригонометрическая функция, g{displaystyle g} — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

cos⁡(π2−α)=sin⁡α,{displaystyle cos left({frac {pi }{2}}-alpha right)=sin alpha ,,} или что то же самое: cos⁡(90∘−α)=sin⁡α.{displaystyle cos left(90^{circ }-alpha right)=sin alpha ,.}

Некоторые формулы приведения:

α{displaystyle alpha }	π2−α{displaystyle {frac {pi }{2}}-alpha }	π2+α{displaystyle {frac {pi }{2}}+alpha }	π−α{displaystyle pi -alpha }	π+α{displaystyle pi +alpha }	3π2−α{displaystyle {frac {3,pi }{2}}-alpha }	3π2+α{displaystyle {frac {3,pi }{2}}+alpha }	2π−α{displaystyle 2,pi -alpha }
sin⁡α{displaystyle sin alpha }	cos⁡α{displaystyle cos alpha }	cos⁡α{displaystyle cos alpha }	sin⁡α{displaystyle sin alpha }	−sin⁡α{displaystyle -sin alpha }	−cos⁡α{displaystyle -cos alpha }	−cos⁡α{displaystyle -cos alpha }	−sin⁡α{displaystyle -sin alpha }
cos⁡α{displaystyle cos alpha }	sin⁡α{displaystyle sin alpha }	−sin⁡α{displaystyle -sin alpha }	−cos⁡α{displaystyle -cos alpha }	−cos⁡α{displaystyle -cos alpha }	−sin⁡α{displaystyle -sin alpha }	sin⁡α{displaystyle sin alpha }	cos⁡α{displaystyle cos alpha }
tgα{displaystyle operatorname {tg} ,alpha }	ctgα{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha }	−ctgα{displaystyle -operatorname {ctg} ,alpha }	−tgα{displaystyle -operatorname {tg} ,alpha }	tgα{displaystyle operatorname {tg} ,alpha }	ctgα{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha }	−ctgα{displaystyle -operatorname {ctg} ,alpha }	−tgα{displaystyle -operatorname {tg} ,alpha }
ctgα{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha }	tgα{displaystyle operatorname {tg} ,alpha }	−tgα{displaystyle -operatorname {tg} ,alpha }	−ctgα{displaystyle -operatorname {ctg} ,alpha }	ctgα{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha }	tgα{displaystyle operatorname {tg} ,alpha }	−tgα{displaystyle -operatorname {tg} ,alpha }	−ctgα{displaystyle -operatorname {ctg} ,alpha }

Формулы сложения |

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β,{displaystyle sin left(alpha pm beta right)=sin alpha ,cos beta pm cos alpha ,sin beta ,}

cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β,{displaystyle cos left(alpha pm beta right)=cos alpha ,cos beta mp sin alpha ,sin beta ,}

tg⁡(α±β)=tgα±tgβ1∓tgαtgβ,{displaystyle operatorname {tg} left(alpha pm beta right)={frac {operatorname {tg} ,alpha pm operatorname {tg} ,beta }{1mp operatorname {tg} ,alpha ,operatorname {tg} ,beta }},}

ctg⁡(α±β)=ctgαctgβ∓1ctgβ±ctgα.{displaystyle operatorname {ctg} left(alpha pm beta right)={frac {operatorname {ctg} ,alpha ,operatorname {ctg} ,beta mp 1}{operatorname {ctg} ,beta pm operatorname {ctg} ,alpha }}.}

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

sin⁡(α+β+γ)=sin⁡αcos⁡βcos⁡γ+cos⁡αsin⁡βcos⁡γ+cos⁡αcos⁡βsin⁡γ−sin⁡αsin⁡βsin⁡γ,{displaystyle sin left(alpha +beta +gamma right)=sin alpha cos beta cos gamma +cos alpha sin beta cos gamma +cos alpha cos beta sin gamma -sin alpha sin beta sin gamma ,}

cos⁡(α+β+γ)=cos⁡αcos⁡βcos⁡γ−sin⁡αsin⁡βcos⁡γ−sin⁡αcos⁡βsin⁡γ−cos⁡αsin⁡βsin⁡γ.{displaystyle cos left(alpha +beta +gamma right)=cos alpha cos beta cos gamma -sin alpha sin beta cos gamma -sin alpha cos beta sin gamma -cos alpha sin beta sin gamma .}

Формулы для кратных углов |

Формулы двойного угла:

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2tgα1+tg2⁡α=2ctgα1+ctg2⁡α=2tgα+ctgα,{displaystyle sin 2alpha =2sin alpha cos alpha ={frac {2,operatorname {tg} ,alpha }{1+operatorname {tg} ^{2}alpha }}={frac {2,operatorname {ctg} ,alpha }{1+operatorname {ctg} ^{2}alpha }}={frac {2}{operatorname {tg} ,alpha +operatorname {ctg} ,alpha }},}

cos⁡2α=cos2⁡α−sin2⁡α=2cos2⁡α−1=1−2sin2⁡α=1−tg2⁡α1+tg2⁡α=ctg2⁡α−1ctg2⁡α+1=ctgα−tgαctgα+tgα,{displaystyle cos 2alpha =cos ^{2}alpha ,-,sin ^{2}alpha =2cos ^{2}alpha ,-,1=1,-,2sin ^{2}alpha ={frac {1-operatorname {tg} ^{2}alpha }{1+operatorname {tg} ^{2}alpha }}={frac {operatorname {ctg} ^{2}alpha -1}{operatorname {ctg} ^{2}alpha +1}}={frac {operatorname {ctg} ,alpha -operatorname {tg} ,alpha }{operatorname {ctg} ,alpha +operatorname {tg} ,alpha }},}

tg2α=2tgα1−tg2⁡α=2ctgαctg2⁡α−1=2ctgα−tgα,{displaystyle operatorname {tg} ,2alpha ={frac {2,operatorname {tg} ,alpha }{1-operatorname {tg} ^{2}alpha }}={frac {2,operatorname {ctg} ,alpha }{operatorname {ctg} ^{2}alpha -1}}={frac {2}{operatorname {ctg} ,alpha -operatorname {tg} ,alpha }},}

ctg2α=ctg2⁡α−12ctgα=ctgα−tgα2.{displaystyle operatorname {ctg} ,2alpha ={frac {operatorname {ctg} ^{2}alpha -1}{2,operatorname {ctg} ,alpha }}={frac {operatorname {ctg} ,alpha -operatorname {tg} ,alpha }{2}}.}

Формулы тройного угла:

sin3α=3sin⁡α−4sin3⁡α,{displaystyle sin ,3alpha =3sin alpha -4sin ^{3}alpha ,}

cos3α=4cos3⁡α−3cos⁡α,{displaystyle cos ,3alpha =4cos ^{3}alpha -3cos alpha ,}

tg3α=3tgα−tg3α1−3tg2α,{displaystyle operatorname {tg} ,3alpha ={frac {3,operatorname {tg} ,alpha -operatorname {tg} ^{3},alpha }{1-3,operatorname {tg} ^{2},alpha }},}

ctg3α=ctg3α−3ctgα3ctg2α−1.{displaystyle operatorname {ctg} ,3alpha ={frac {operatorname {ctg} ^{3},alpha -3,operatorname {ctg} ,alpha }{3,operatorname {ctg} ^{2},alpha -1}}.}

Прочие формулы для кратных углов:

sin4α=cos⁡α(4sin⁡α−8sin3⁡α),{displaystyle sin ,4alpha =cos alpha left(4sin alpha -8sin ^{3}alpha right),}

cos4α=8cos4⁡α−8cos2⁡α+1,{displaystyle cos ,4alpha =8cos ^{4}alpha -8cos ^{2}alpha +1,}

tg4α=4tgα−4tg3α1−6tg2α+tg4α,{displaystyle operatorname {tg} ,4alpha ={frac {4,operatorname {tg} ,alpha -4,operatorname {tg} ^{3},alpha }{1-6,operatorname {tg} ^{2},alpha +operatorname {tg} ^{4},alpha }},}

ctg4α=ctg4α−6ctg2α+14ctg3α−4ctgα,{displaystyle operatorname {ctg} ,4alpha ={frac {operatorname {ctg} ^{4},alpha -6,operatorname {ctg} ^{2},alpha +1}{4,operatorname {ctg} ^{3},alpha -4,operatorname {ctg} ,alpha }},}

sin5α=16sin5⁡α−20sin3⁡α+5sin⁡α,{displaystyle sin ,5alpha =16sin ^{5}alpha -20sin ^{3}alpha +5sin alpha ,}

cos5α=16cos5⁡α−20cos3⁡α+5cos⁡α,{displaystyle cos ,5alpha =16cos ^{5}alpha -20cos ^{3}alpha +5cos alpha ,}

tg5α=tg⁡αtg4⁡α−10tg2⁡α+55tg4⁡α−10tg2⁡α+1,{displaystyle operatorname {tg} ,5alpha =operatorname {tg} alpha {frac {operatorname {tg} ^{4}alpha -10operatorname {tg} ^{2}alpha +5}{5operatorname {tg} ^{4}alpha -10operatorname {tg} ^{2}alpha +1}},}

ctg5α=ctg⁡αctg4⁡α−10ctg2⁡α+55ctg4⁡α−10ctg2⁡α+1,{displaystyle operatorname {ctg} ,5alpha =operatorname {ctg} alpha {frac {operatorname {ctg} ^{4}alpha -10operatorname {ctg} ^{2}alpha +5}{5operatorname {ctg} ^{4}alpha -10operatorname {ctg} ^{2}alpha +1}},}

sin⁡(nα)=2n−1∏k=0n−1sin⁡(α+πkn){displaystyle sin(nalpha )=2^{n-1}prod _{k=0}^{n-1}sin left(alpha +{frac {pi k}{n}}right)} следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для гамма-функции.

Из формулы Муавра можно получить следующие общие выражения для кратных углов:

sin⁡(nα)=∑k=0[(n−1)/2](−1)k(n2k+1)cosn−2k−1⁡αsin2k+1⁡α,{displaystyle sin(nalpha )=sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{binom {n}{2k+1}}cos ^{n-2k-1}alpha ,sin ^{2k+1}alpha ,}

cos⁡(nα)=∑k=0[n/2](−1)k(n2k)cosn−2k⁡αsin2k⁡α,{displaystyle cos(nalpha )=sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{binom {n}{2k}}cos ^{n-2k}alpha ,sin ^{2k}alpha ,}

tg(nα)=sin⁡(nα)cos⁡(nα)=∑k=0[(n−1)/2](−1)k(n2k+1)tg2k+1α∑k=0[n/2](−1)k(n2k)tg2kα,{displaystyle mathrm {tg} (nalpha )={frac {sin(nalpha )}{cos(nalpha )}}={dfrac {displaystyle {sum limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{binom {n}{2k+1}}mathrm {tg} ^{2k+1}alpha }}{displaystyle {sum limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{binom {n}{2k}}mathrm {tg} ^{2k}alpha }}},}

ctg(nα)=cos⁡(nα)sin⁡(nα)=∑k=0[n/2](−1)k(n2k)ctgn−2kα∑k=0[(n−1)/2](−1)k(n2k+1)ctgn−2k−1α,{displaystyle mathrm {ctg} (nalpha )={frac {cos(nalpha )}{sin(nalpha )}}={dfrac {displaystyle {sum limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{binom {n}{2k}}mathrm {ctg} ^{n-2k}alpha }}{displaystyle {sum limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{binom {n}{2k+1}}mathrm {ctg} ^{n-2k-1}alpha }}},}

где [n]{displaystyle [n]} — целая часть числа n{displaystyle n}, (nk){displaystyle {binom {n}{k}}} — биномиальный коэффициент.

Формулы половинного угла:

sin⁡α2=1−cos⁡α2,0⩽α⩽2π,{displaystyle sin {frac {alpha }{2}}={sqrt {frac {1-cos alpha }{2}}},quad 0leqslant alpha leqslant 2pi ,}

cos⁡α2=1+cos⁡α2,−π⩽α⩽π,{displaystyle cos {frac {alpha }{2}}={sqrt {frac {1+cos alpha }{2}}},quad -pi leqslant alpha leqslant pi ,}

tgα2=1−cos⁡αsin⁡α=sin⁡α1+cos⁡α,{displaystyle operatorname {tg} ,{frac {alpha }{2}}={frac {1-cos alpha }{sin alpha }}={frac {sin alpha }{1+cos alpha }},}

ctgα2=sin⁡α1−cos⁡α=1+cos⁡αsin⁡α,{displaystyle operatorname {ctg} ,{frac {alpha }{2}}={frac {sin alpha }{1-cos alpha }}={frac {1+cos alpha }{sin alpha }},}

tgα2=1−cos⁡α1+cos⁡α,0⩽α<π,{displaystyle operatorname {tg} ,{frac {alpha }{2}}={sqrt {frac {1-cos alpha }{1+cos alpha }}},quad 0leqslant alpha <pi ,}

ctgα2=1+cos⁡α1−cos⁡α,0<α⩽π.{displaystyle operatorname {ctg} ,{frac {alpha }{2}}={sqrt {frac {1+cos alpha }{1-cos alpha }}},quad 0<alpha leqslant pi .}

Произведения |

Формулы для произведений функций двух углов:

sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)2,{displaystyle sin alpha sin beta ={frac {cos(alpha -beta )-cos(alpha +beta )}{2}},}

sin⁡αcos⁡β=sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)2,{displaystyle sin alpha cos beta ={frac {sin(alpha -beta )+sin(alpha +beta )}{2}},}

cos⁡αcos⁡β=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)2,{displaystyle cos alpha cos beta ={frac {cos(alpha -beta )+cos(alpha +beta )}{2}},}

tgαtgβ=cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β),{displaystyle operatorname {tg} ,alpha ,operatorname {tg} ,beta ={frac {cos(alpha -beta )-cos(alpha +beta )}{cos(alpha -beta )+cos(alpha +beta )}},}

tgαctgβ=sin⁡(α−β)+sin⁡(α+β)sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β),{displaystyle operatorname {tg} ,alpha ,operatorname {ctg} ,beta ={frac {sin(alpha -beta )+sin(alpha +beta )}{sin(alpha +beta )-sin(alpha -beta )}},}

ctgαctgβ=cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β).{displaystyle operatorname {ctg} ,alpha ,operatorname {ctg} ,beta ={frac {cos(alpha -beta )+cos(alpha +beta )}{cos(alpha -beta )-cos(alpha +beta )}}.}

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

sin⁡αsin⁡βsin⁡γ=sin⁡(α+β−γ)+sin⁡(β+γ−α)+sin⁡(α−β+γ)−sin⁡(α+β+γ)4,{displaystyle sin alpha sin beta sin gamma ={frac {sin(alpha +beta -gamma )+sin(beta +gamma -alpha )+sin(alpha -beta +gamma )-sin(alpha +beta +gamma )}{4}},}

sin⁡αsin⁡βcos⁡γ=−cos⁡(α+β−γ)+cos⁡(β+γ−α)+cos⁡(α−β+γ)−cos⁡(α+β+γ)4,{displaystyle sin alpha sin beta cos gamma ={frac {-cos(alpha +beta -gamma )+cos(beta +gamma -alpha )+cos(alpha -beta +gamma )-cos(alpha +beta +gamma )}{4}},}

sin⁡αcos⁡βcos⁡γ=sin⁡(α+β−γ)−sin⁡(β+γ−α)+sin⁡(α−β+γ)−sin⁡(α+β+γ)4,{displaystyle sin alpha cos beta cos gamma ={frac {sin(alpha +beta -gamma )-sin(beta +gamma -alpha )+sin(alpha -beta +gamma )-sin(alpha +beta +gamma )}{4}},}

cos⁡αcos⁡βcos⁡γ=cos⁡(α+β−γ)+cos⁡(β+γ−α)+cos⁡(α−β+γ)+cos⁡(α+β+γ)4.{displaystyle cos alpha cos beta cos gamma ={frac {cos(alpha +beta -gamma )+cos(beta +gamma -alpha )+cos(alpha -beta +gamma )+cos(alpha +beta +gamma )}{4}}.}

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени |

sin2⁡α=1−cos⁡2α2=tg2α1+tg2α,{displaystyle sin ^{2}alpha ={frac {1-cos 2,alpha }{2}}={frac {operatorname {tg} ^{2},alpha }{1+operatorname {tg} ^{2},alpha }},}

cos2⁡α=1+cos⁡2α2=ctg2α1+ctg2α,{displaystyle cos ^{2}alpha ={frac {1+cos 2,alpha }{2}}={frac {operatorname {ctg} ^{2},alpha }{1+operatorname {ctg} ^{2},alpha }},}

tg2α=1−cos⁡2α1+cos⁡2α=sin2α1−sin2α,{displaystyle operatorname {tg} ^{2},alpha ={frac {1-cos 2,alpha }{1+cos 2,alpha }}={frac {operatorname {sin} ^{2},alpha }{1-operatorname {sin} ^{2},alpha }},}

ctg2α=1+cos⁡2α1−cos⁡2α,=cos2α1−cos2α,{displaystyle operatorname {ctg} ^{2},alpha ={frac {1+cos 2,alpha }{1-cos 2,alpha }},={frac {operatorname {cos} ^{2},alpha }{1-operatorname {cos} ^{2},alpha }},}

sin3⁡α=3sin⁡α−sin⁡3α4,{displaystyle sin ^{3}alpha ={frac {3sin alpha -sin 3,alpha }{4}},}

cos3⁡α=3cos⁡α+cos⁡3α4,{displaystyle cos ^{3}alpha ={frac {3cos alpha +cos 3,alpha }{4}},}

tg3α=3sin⁡α−sin⁡3α3cos⁡α+cos⁡3α,{displaystyle operatorname {tg} ^{3},alpha ={frac {3sin alpha -sin 3,alpha }{3cos alpha +cos 3,alpha }},}

ctg3α=3cos⁡α+cos⁡3α3sin⁡α−sin⁡3α,{displaystyle operatorname {ctg} ^{3},alpha ={frac {3cos alpha +cos 3,alpha }{3sin alpha -sin 3,alpha }},}

sin4⁡α=cos⁡4α−4cos⁡2α+38,{displaystyle sin ^{4}alpha ={frac {cos 4alpha -4cos 2,alpha +3}{8}},}

cos4⁡α=cos⁡4α+4cos⁡2α+38,{displaystyle cos ^{4}alpha ={frac {cos 4alpha +4cos 2,alpha +3}{8}},}

tg4α=cos⁡4α−4cos⁡2α+3cos⁡4α+4cos⁡2α+3,{displaystyle operatorname {tg} ^{4},alpha ={frac {cos 4alpha -4cos 2,alpha +3}{cos 4alpha +4cos 2,alpha +3}},}

ctg4α=cos⁡4α+4cos⁡2α+3cos⁡4α−4cos⁡2α+3.{displaystyle operatorname {ctg} ^{4},alpha ={frac {cos 4alpha +4cos 2,alpha +3}{cos 4alpha -4cos 2,alpha +3}}.}

Иллюстрация равенства sin⁡x−cos⁡x=2⋅sin⁡(x−π4){displaystyle sin x-cos x={sqrt {2}}cdot sin left(x-{pi over 4}right)}

Суммы |

sin⁡α±sin⁡β=2sin⁡α±β2cos⁡α∓β2,{displaystyle sin alpha pm sin beta =2sin {frac {alpha pm beta }{2}}cos {frac {alpha mp beta }{2}},}

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2,{displaystyle cos alpha +cos beta =2cos {frac {alpha +beta }{2}}cos {frac {alpha -beta }{2}},}

cos⁡α−cos⁡β=−2sin⁡α+β2sin⁡α−β2,{displaystyle cos alpha -cos beta =-2sin {frac {alpha +beta }{2}}sin {frac {alpha -beta }{2}},}

tg⁡α±tg⁡β=sin⁡(α±β)cos⁡αcos⁡β,{displaystyle operatorname {tg} alpha pm operatorname {tg} beta ={frac {sin(alpha pm beta )}{cos alpha cos beta }},}

ctg⁡α±ctg⁡β=sin⁡(β±α)sin⁡αsin⁡β,{displaystyle operatorname {ctg} alpha pm operatorname {ctg} beta ={frac {sin(beta pm alpha )}{sin alpha sin beta }},}

1±sin⁡2α=(sin⁡α±cos⁡α)2,{displaystyle 1pm sin {2alpha }=(sin alpha pm cos alpha )^{2},}

sin⁡α±cos⁡α=2⋅sin⁡(α±π4).{displaystyle sin alpha pm cos alpha ={sqrt {2}}cdot sin left(alpha pm {pi over 4}right).}

Существует представление:

Asin⁡α+Bcos⁡α=A2+B2sin⁡(α+ϕ),{displaystyle Asin alpha +Bcos alpha ={sqrt {A^{2}+B^{2}}};sin(alpha +phi ),}

где угол ϕ{displaystyle phi } находится из соотношений:

sin⁡ϕ=BA2+B2,{displaystyle sin phi ={frac {B}{sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}

cos⁡ϕ=AA2+B2.{displaystyle cos phi ={frac {A}{sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}

Универсальная тригонометрическая подстановка |

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла:

sin⁡x=sin⁡x1=2sin⁡x2cos⁡x2sin2⁡x2+cos2⁡x2=2tg⁡x21+tg2⁡x2,{displaystyle sin x={frac {sin x}{1}}={frac {2sin {frac {x}{2}}cos {frac {x}{2}}}{sin ^{2}{frac {x}{2}}+cos ^{2}{frac {x}{2}}}}={frac {2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}{1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}

cos⁡x=cos⁡x1=cos2⁡x2−sin2⁡x2cos2⁡x2+sin2⁡x2=1−tg2⁡x21+tg2⁡x2,{displaystyle cos x={frac {cos x}{1}}={frac {cos ^{2}{frac {x}{2}}-sin ^{2}{frac {x}{2}}}{cos ^{2}{frac {x}{2}}+sin ^{2}{frac {x}{2}}}}={frac {1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}

tg⁡ x=sin⁡xcos⁡x=2tg⁡x21−tg2⁡x2,{displaystyle operatorname {tg} ~x={frac {sin x}{cos x}}={frac {2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}{1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}

ctg⁡ x=cos⁡xsin⁡x=1−tg2⁡x22tg⁡x2,{displaystyle operatorname {ctg} ~x={frac {cos x}{sin x}}={frac {1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}},}

sec⁡x=1cos⁡x=1+tg2⁡x21−tg2⁡x2,{displaystyle sec x={frac {1}{cos x}}={frac {1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{1-operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}},}

cosec⁡ x=1sin⁡x=1+tg2⁡x22tg⁡x2.{displaystyle operatorname {cosec} ~x={frac {1}{sin x}}={frac {1+operatorname {tg} ^{2}{frac {x}{2}}}{2operatorname {tg} {frac {x}{2}}}}.}

Тригонометрические функции комплексного аргумента |

Определение |

Формула Эйлера:

eiϑ=cos⁡ϑ+isin⁡ϑ.{displaystyle e^{ivartheta }=cos vartheta +isin vartheta .}

Формула Эйлера позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

sin⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!z2n+1=eiz−e−iz2i=sh⁡izi;{displaystyle sin z=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}},={frac {operatorname {sh} iz}{i}};}

cos⁡z=∑n=0∞(−1)n(2n)!z2n=eiz+e−iz2=ch⁡iz;{displaystyle cos z=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},=operatorname {ch} iz;}

tgz=sin⁡zcos⁡z=eiz−e−izi(eiz+e−iz);{displaystyle operatorname {tg} ,z={frac {sin z}{cos z}}={frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};}

ctgz=cos⁡zsin⁡z=i(eiz+e−iz)eiz−e−iz;{displaystyle operatorname {ctg} ,z={frac {cos z}{sin z}}={frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};}

sec⁡z=1cos⁡z=2eiz+e−iz;{displaystyle sec z={frac {1}{cos z}}={frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};}

cosecz=1sin⁡z=2ieiz−e−iz,{displaystyle operatorname {cosec} ,z={frac {1}{sin z}}={frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},} где i2=−1.{displaystyle i^{2}=-1.}

Соответственно, для вещественного x:

cos⁡x=Re⁡(eix),{displaystyle cos x=operatorname {Re} (e^{ix}),}

sin⁡x=Im⁡(eix).{displaystyle sin x=operatorname {Im} (e^{ix}).}

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

sin⁡(x+iy)=sin⁡xchy+icos⁡xshy,{displaystyle sin(x+iy)=sin x,operatorname {ch} ,y+icos x,operatorname {sh} ,y,}

cos⁡(x+iy)=cos⁡xchy−isin⁡xshy.{displaystyle cos(x+iy)=cos x,operatorname {ch} ,y-isin x,operatorname {sh} ,y.}

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

• комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;


• все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики |

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости

sinz{displaystyle sin ,z}	cosz{displaystyle cos ,z}	tgz{displaystyle operatorname {tg} ,z}	ctgz{displaystyle operatorname {ctg} ,z}	secz{displaystyle sec ,z}	cosecz{displaystyle operatorname {cosec} ,z}

История названий |

Линия синуса (линия AB на рис. 2) у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды данной дуги, поскольку дуга с хордой напоминает лук с тетивой). Затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские математики, переводя индийские книги с санскрита, не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали его арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба» (جيب‎). Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса как «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus — «синус», имеющим то же значение (следует отметить, что именно в этом значении оно применяется как анатомический термин синус). Термин «косинус» (лат. cosinus) — это сокращение от лат. complementi sinus — дополнительный синус.

Современные краткие обозначения sin{displaystyle sin }, cos{displaystyle cos } введены Уильямом Отредом и Бонавентурой Кавальери и закреплены в трудах Леонарда Эйлера.

Термины «тангенс» (лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

Позднее были введены и термины для обратных тригонометрических функций — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — с помощью добавления приставки «арк» (от лат. arcus — дуга), — Ж. Лагранжем и др.

См. также |

• Гиперболические функции


• Интегральный синус


• Интегральный косинус


• Интегральный секанс


• Обратные тригонометрические функции


• Редко используемые тригонометрические функции


• Решение треугольников


• Синус-верзус


• Сферическая тригонометрия


• Тригонометрические тождества


• Тригонометрические функции от матрицы


• Тригонометрический ряд Фурье


• Функция Гудермана


• 
  Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)


• Эллиптические функции

Литература |

• 
  Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. — М.: Наука, 1967.


• 
  Тригонометрические функции — статья из Большой советской энциклопедии.  — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 26. — С. 204—206.


• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.


• 
  Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
  
  • Переиздание: М.: АСТ, 2006. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6 www.alleng.ru/d/math/math42.htm
  
  


• Двайт Г. Б. Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.


• 
  Кожеуров П. А. Тригонометрия. — М.: Физматгиз, 1963.


• 
  Маркушевич А. И. Замечательные синусы. — М.: Наука, 1974.


• 
  Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 5. — С. 436.
  


• Тригонометрические функции // Энциклопедический словарь юного математика / Ред. коллегия, Гнеденко Б. В. (гл. ред.), Савин А. П. и др. — М.: Педагогика, 1985 (1989). — С. 299—301—305. — 352 с., ил. — ISBN 5-7155-0218-7 (С. 342, 343 — таблицы тригонометрических функций 0°-90°, в том числе в радианах)


• Тригонометрические функции // Справочник по математике (для ср. уч. заведений) / Цыпкин А. Г., под ред. Степанова С. А. — 3-е изд. — М.: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1983. — С. 240—258. — 480 с.

Ссылки |

• 
  GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)


• 
  Weisstein, Eric W. Trigonometric Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.


• Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций (в том числе нахождение углов треугольника по сторонам)


• Интерактивная карта значений тригонометрических функций


• Тригонометрические таблицы (0° — 360°)


• 
  «Синус и косинус — это проценты» — перевод статьи How To Learn Trigonometry Intuitively | BetterExplained (англ.)
  

Примечания |