Cdtrjyty

Шестнадцатиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,4}
Ячеек	16
Граней	32
Рёбер	24
Вершин	8
Вершинная фигура	Правильный октаэдр
Двойственный политоп	Тессеракт

Проекция вращающегося шестнадцатиячейника в трёхмерное пространство

Пра́вильный шестнадцатияче́йник, или просто шестнадцатияче́йник^[1] — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гексадекахор (от др.-греч. ἕξ — «шесть», δέκα — «десять» и χώρος — «место, пространство»), четырёхмерный гиперокта́эдр (поскольку является аналогом трёхмерного октаэдра), четырёхмерный кокуб^[2] (поскольку двойственен четырёхмерному гиперкубу), четырёхмерный ортоплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[3]. Символ Шлефли шестнадцатиячейника — {3,3,4}.

Описание |

Ограничен 16 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности 120∘.{displaystyle 120^{circ }.}

Его 32 двумерных грани — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 24 ребра равной длины. На каждом ребре сходятся по 4 грани и по 4 ячейки.

Имеет 8 вершин. В каждой вершине сходятся по 6 рёбер, по 12 граней и по 8 ячеек. Любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме вершины, симметричной ей относительно центра многоячейника.

Шестнадцатиячейник можно представить как две одинаковых правильных четырёхмерных пирамиды, приложенные друг к другу своими октаэдрическими основаниями, — либо как четырёхмерную дуопирамиду^[en], построенную на двух квадратах.

В координатах |

Шестнадцатиячейник можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его 8 вершин имели координаты (±1;0;0;0),{displaystyle (pm 1;0;0;0),} (0;±1;0;0),{displaystyle (0;pm 1;0;0),} (0;0;±1;0),{displaystyle (0;0;pm 1;0),} (0;0;0;±1).{displaystyle (0;0;0;pm 1).}

При этом сечения многоячейника 6 координатными плоскостями будут представлять собой 6 квадратов, вершины и рёбра которых — соответственно вершины и рёбра многоячейника.

Каждая из 16 ячеек многоячейника будет располагаться в одном из 16 ортантов четырёхмерного пространства.

Начало координат (0;0;0;0){displaystyle (0;0;0;0)} будет центром симметрии шестнадцатиячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Поверхность шестнадцатиячейника при этом будет геометрическим местом точек (x;y;z;w),{displaystyle (x;y;z;w),} чьи координаты удовлетворяют уравнению

|x|+|y|+|z|+|w|=1,{displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|=1,}

а внутренность многоячейника — геометрическим место точек, для которых

|x|+|y|+|z|+|w|<1.{displaystyle |x|+|y|+|z|+|w|<1.}

Ортогональные проекции на плоскость |

Метрические характеристики |

Если шестнадцатиячейник имеет ребро длины a,{displaystyle a,} то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V4=16a4≈0,1666667a4,{displaystyle V_{4}={frac {1}{6}};a^{4}approx 0,1666667a^{4},}

S3=423a3≈1,8856181a3.{displaystyle S_{3}={frac {4{sqrt {2}}}{3}};a^{3}approx 1,8856181a^{3}.}

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R=22a≈0,7071068a,{displaystyle R={frac {sqrt {2}}{2}};aapprox 0,7071068a,}

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ1=12a=0,5000000a,{displaystyle rho _{1}={frac {1}{2}};a=0,5000000a,}

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

ρ2=66a≈0,4082483a,{displaystyle rho _{2}={frac {sqrt {6}}{6}};aapprox 0,4082483a,}

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r=24a≈0,3535534a.{displaystyle r={frac {sqrt {2}}{4}};aapprox 0,3535534a.}

Заполнение пространства |

Шестнадцатиячейниками можно замостить четырёхмерное пространство без промежутков и наложений.

Примечания |

Ссылки |

• 
  Weisstein, Eric W. Шестнадцатиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

	Шестнадцатиячейник на Викискладе