Cdtrjyty

Пятиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,3}
Ячеек	5
Граней	10
Рёбер	10
Вершин	5
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	Он же (самодвойственный)

Проекция вращающегося пятиячейника в трёхмерное пространство

Стереографическая проекция пятиячейника

Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник^[1], или пентахор (от др.-греч. πέντε — «пять» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[2]. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.

Двойственен сам себе. В отличие от пяти других правильных многоячейников, не имеет центральной симметрии.

Используется в физико-химическом анализе для изучения свойств многокомпонентных систем^[3].

Описание |

Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Любые две ячейки — смежные; угол между ними равен arccos14≈75,52∘.{displaystyle arccos ,{frac {1}{4}}approx 75,52^{circ }.}

Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром; любые 3 вершины принадлежат одной грани; любые 4 вершины принадлежат одной ячейке.

Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.

В координатах |

Первый способ расположения |

Пятиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты (1;1;1;0),{displaystyle (1;1;1;0),} (1;−1;−1;0),{displaystyle (1;-1;-1;0),} (−1;1;−1;0),{displaystyle (-1;1;-1;0),} (−1;−1;1;0),{displaystyle (-1;-1;1;0),} (0;0;0;5).{displaystyle (0;0;0;{sqrt {5}}).}

При этом точка (0;0;0;55){displaystyle left(0;0;0;{frac {sqrt {5}}{5}}right)} будет центром вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Второй способ расположения |

В пятимерном пространстве возможно разместить пятиячейник так, чтобы все его вершины имели целые координаты: (1;0;0;0;0),{displaystyle (1;0;0;0;0),} (0;1;0;0;0),{displaystyle (0;1;0;0;0),} (0;0;1;0;0),{displaystyle (0;0;1;0;0),} (0;0;0;1;0),{displaystyle (0;0;0;1;0),} (0;0;0;0;1).{displaystyle (0;0;0;0;1).}

Центром вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер при этом будет точка (15;15;15;15;15).{displaystyle left({frac {1}{5}};{frac {1}{5}};{frac {1}{5}};{frac {1}{5}};{frac {1}{5}}right).}

Ортогональные проекции на плоскость |

Метрические характеристики |

Если пятиячейник имеет ребро длины a,{displaystyle a,} то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V4=596a4 ≈0,0232924a4,{displaystyle V_{4}={frac {sqrt {5}}{96}};a^{4} approx 0,0232924a^{4},}

S3=5212a3≈0,5892557a3.{displaystyle S_{3}={frac {5{sqrt {2}}}{12}};a^{3}approx 0,5892557a^{3}.}

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R=105a≈0,6324555a,{displaystyle R={frac {sqrt {10}}{5}};aapprox 0,6324555a,}

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ1=1510a≈0,3872983a,{displaystyle rho _{1}={frac {sqrt {15}}{10}};aapprox 0,3872983a,}

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

ρ2=1515a≈0,2581989a,{displaystyle rho _{2}={frac {sqrt {15}}{15}};aapprox 0,2581989a,}

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r=1020a≈0,1581139a.{displaystyle r={frac {sqrt {10}}{20}};aapprox 0,1581139a.}

Неправильные пятиячейники |

Иногда словом «пятиячейник» может обозначаться не только правильный, но и произвольный четырёхмерный симплекс.

Примечания |

Ссылки |

• 
  Weisstein, Eric W. Пятиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

	Пятиячейник на Викискладе