Cdtrjyty

Платоновы тела

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Определение |

Многогранник называется правильным, если:

1. он выпуклый;


2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;


3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Список правильных многогранников |

В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников^[1]:

Изображение	Правильный многогранник	Число вершин	Число рёбер	Число граней	Число сторон у грани	Число рёбер, примыкающих к вершине	Тип пространственной симметрии
	Тетраэдр	4	6	4	3	3	Td
	Октаэдр	6	12	8	3	4	Oh
	Гексаэдр	8	12	6	4	3	Oh
	Додекаэдр	20	30	12	5	3	Ih
	Икосаэдр	12	30	20	3	5	Ih

Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань».

История |

Правильные многогранники известны с древнейших времён.
Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона.
В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.
Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору.
Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона.
В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела».
Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру.
Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры);
воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры);
в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды.
По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».
Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал.
Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке.
Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра.
В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников.
Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида^[2].
Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками.
В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну).
Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб.
Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками.
Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

Комбинаторные свойства |

• 
  Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:
  

  В + Г = Р + 2.

  
  

• Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

• Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
  

  
  

  
  p — число рёбер в каждой грани;

  
  

  
  q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

  
  

  
  

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

Многогранник		Вершины	Рёбра	Грани	Символ Шлефли
тетраэдр		4	6	4	{3, 3}
октаэдр		6	12	8	{3, 4}
гексаэдр (куб)		8	12	6	{4, 3}
икосаэдр		12	30	20	{3, 5}
додекаэдр		20	30	12	{5, 3}

• Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:
  

  pΓ=2P=qB.{displaystyle pGamma =2{mbox{P}}=q{mbox{B}}.}

  
  

Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

B=4p4−(p−2)(q−2),P=2pq4−(p−2)(q−2),Γ=4q4−(p−2)(q−2).{displaystyle {mbox{B}}={frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},quad {mbox{P}}={frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},quad Gamma ={frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}.}

Геометрические свойства |

Углы |

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

sin⁡θ2=cos⁡(π/q)sin⁡(π/p).{displaystyle sin {theta over 2}={frac {cos(pi /q)}{sin(pi /p)}}.}

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

tgθ2=cos⁡(π/q)sin⁡(π/h),{displaystyle operatorname {tg} ,{frac {theta }{2}}={frac {cos(pi /q)}{sin(pi /h)}},}

где h{displaystyle h} принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине.
Дефект δ{displaystyle delta } при любой вершине правильного многогранника:

δ=2π−qπ(1−2p).{displaystyle delta =2pi -qpi left(1-{2 over p}right).}

По теореме Декарта, он равен 4π{displaystyle 4pi } делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен 4π{displaystyle 4pi }).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

Ω=qθ−(q−2)π.{displaystyle Omega =qtheta -(q-2)pi .}

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (4π{displaystyle 4pi } стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах.
Константа φ=1+52{displaystyle varphi ={tfrac {1+{sqrt {5}}}{2}}} — золотое сечение.

Многогранник	Двугранный угол θ	tg⁡θ2{displaystyle operatorname {tg} {frac {theta }{2}}}	Плоский угол между рёбрами при вершине	Угловой дефект (δ)	Телесный угол при вершине (Ω)		Телесный угол, стягиваемый гранью
тетраэдр	70.53°	12{displaystyle 1 over {sqrt {2}}}	60°	π{displaystyle pi }	arccos⁡(2327){displaystyle arccos left({frac {23}{27}}right)}	≈0.551286{displaystyle approx 0.551286}	π{displaystyle pi }
куб	90°	1	90°	π2{displaystyle pi over 2}	π2{displaystyle {frac {pi }{2}}}	≈1.57080{displaystyle approx 1.57080}	2π3{displaystyle 2pi over 3}
октаэдр	109.47°	√2	60°, 90°	2π3{displaystyle {2pi } over 3}	4arcsin⁡(13){displaystyle 4arcsin left({1 over 3}right)}	≈1.35935{displaystyle approx 1.35935}	π2{displaystyle pi over 2}
додекаэдр	116.57°	φ{displaystyle varphi }	108°	π5{displaystyle pi over 5}	π−arctg⁡(211){displaystyle pi -operatorname {arctg} left({frac {2}{11}}right)}	≈2.96174{displaystyle approx 2.96174}	π3{displaystyle pi over 3}
икосаэдр	138.19°	φ2{displaystyle varphi ^{2}}	60°, 108°	π3{displaystyle pi over 3}	2π−5arcsin⁡(23){displaystyle 2pi -5arcsin left({2 over 3}right)}	≈2.63455{displaystyle approx 2.63455}	π5{displaystyle pi over 5}

Радиусы, площади и объёмы |

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;


• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;


• 
  Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной (R{displaystyle R}) и вписанной (r{displaystyle r}) сфер задаются формулами:

R=a2⋅tg⁡πq⋅tg⁡θ2{displaystyle R={a over 2}cdot operatorname {tg} {frac {pi }{q}}cdot operatorname {tg} {frac {theta }{2}}}

r=a2⋅ctg⁡πp⋅tg⁡θ2,{displaystyle r={a over 2}cdot operatorname {ctg} {frac {pi }{p}}cdot operatorname {tg} {frac {theta }{2}},}

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

ρ=acos⁡(π/p)2sin⁡(π/h),{displaystyle rho ={frac {acos(pi /p)}{2sin(pi /h)}},}

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Rr=tg⁡πp⋅tg⁡πq.{displaystyle {R over r}=operatorname {tg} {frac {pi }{p}}cdot operatorname {tg} {frac {pi }{q}}.}

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

S=(a2)2Γpctg⁡πp.{displaystyle S=left({a over 2}right)^{2}Gamma p,operatorname {ctg} {frac {pi }{p}}.}

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

V=13rS.{displaystyle V={1 over 3}rS.}

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник (a = 2)	Радиус вписанной сферы (r)	Радиус срединной сферы (ρ)	Радиус описанной сферы (R)	Площадь поверхности (S)	Объём (V)
тетраэдр	16{displaystyle 1 over {sqrt {6}}}	12{displaystyle 1 over {sqrt {2}}}	32{displaystyle {sqrt {3 over 2}}}	43{displaystyle 4{sqrt {3}}}	223{displaystyle {frac {2{sqrt {2}}}{3}}}
куб	1{displaystyle 1}	2{displaystyle {sqrt {2}}}	3{displaystyle {sqrt {3}}}	24{displaystyle 24}	8{displaystyle 8}
октаэдр	23{displaystyle {sqrt {2 over 3}}}	1{displaystyle 1}	2{displaystyle {sqrt {2}}}	83{displaystyle 8{sqrt {3}}}	823{displaystyle {frac {8{sqrt {2}}}{3}}}
додекаэдр	φ2ξ{displaystyle {frac {varphi ^{2}}{xi }}}	φ2{displaystyle varphi ^{2}}	3φ{displaystyle {sqrt {3}},varphi }	60φξ{displaystyle 60{frac {varphi }{xi }}}	20φ3ξ2{displaystyle 20{frac {varphi ^{3}}{xi ^{2}}}}
икосаэдр	φ23{displaystyle {frac {varphi ^{2}}{sqrt {3}}}}	φ{displaystyle varphi }	ξφ{displaystyle xi varphi }	203{displaystyle 20{sqrt {3}}}	20φ23{displaystyle {frac {20varphi ^{2}}{3}}}

Константы φ и ξ задаются выражениями

φ=2cos⁡π5=1+52ξ=2sin⁡π5=5−52=51/4φ−1/2.{displaystyle varphi =2cos {pi over 5}={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}qquad xi =2sin {pi over 5}={sqrt {frac {5-{sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}varphi ^{-1/2}.}

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

В больших размерностях |

• Всего существует 6 правильных четырёхмерных многогранников:

• Во всех пространствах размерности n > 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр (гипероктаэдр) и n-мерный куб (гиперкуб).

См. также |

• Правильный многоугольник


• Полуправильный многогранник


• Многогранник Джонсона


• Звёздчатый многогранник


• Двойственный многогранник


• Правильные многомерные многогранники

Примечания |

Ссылки |

	Платоновы тела на Викискладе

• Смирнов Е. Ю. Группы Кокстера и правильные многогранники // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.


• 
  Weisstein, Eric W. Platonic Solids (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.


• 
  Фанаты математики/геометрия. (англ.)
  


• 
  Бумажные модели правильных многогранников. (англ.)
  


• 
  Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела. (англ.)
  


• 
  Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо. (англ.)
  


• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — 236 с.


• Гончар В. В. Модели многогранников. — Москва: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2.


• Гончар В. В., Гончар Д. Р. Модели многогранников. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8.