Cdtrjyty

Стодвадцатиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{5,3,3}
Ячеек	120
Граней	720
Рёбер	1200
Вершин	600
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	Шестисотячейник

Пра́вильный стодвадцатияче́йник, или просто стодвадцатияче́йник^[1] — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от др.-греч. ἑκατόν — «сто», εἴκοσι — «двадцать» и χώρος — «место, пространство»), гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр. Двойственен шестисотячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[2]. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.

Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.

Описание |

Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности 144∘.{displaystyle 144^{circ }.}

Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

В координатах |

Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

• координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел (0;0;±2;±2);{displaystyle (0;0;pm 2;pm 2);}
  

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками (±1;±1;±1;±5);{displaystyle (pm 1;pm 1;pm 1;pm {sqrt {5}});}
  

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками (±Φ−2;±Φ;±Φ;±Φ),{displaystyle (pm Phi ^{-2};pm Phi ;pm Phi ;pm Phi ),} где Φ=1+52{displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} — отношение золотого сечения;

• координаты 64 вершин — всевозможными перестановками (±Φ−1;±Φ−1;±Φ−1;±Φ2);{displaystyle (pm Phi ^{-1};pm Phi ^{-1};pm Phi ^{-1};pm Phi ^{2});}
  

• координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками (0;±Φ−2;±1;±Φ2);{displaystyle (0;pm Phi ^{-2};pm 1;pm Phi ^{2});}
  

• координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками (0;±Φ−1;±Φ;±5);{displaystyle (0;pm Phi ^{-1};pm Phi ;pm {sqrt {5}});}
  

• координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками (±Φ−1;±1;±Φ;±2).{displaystyle (pm Phi ^{-1};pm 1;pm Phi ;pm 2).}
  

Начало координат (0;0;0;0){displaystyle (0;0;0;0)} будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство |

Вид снаружи

Вид изнутри

Ортогональные проекции на плоскость |

Метрические характеристики |

Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины a,{displaystyle a,} то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V4=154(105+475)a4≈787,8569810a4,{displaystyle V_{4}={frac {15}{4}}left(105+47{sqrt {5}}right)a^{4}approx 787{,}8569810a^{4},}

S3=30(15+75)a3≈919,5742753a3.{displaystyle S_{3}=30left(15+7{sqrt {5}}right)a^{3}approx 919{,}5742753a^{3}.}

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R=12(10+32)a≈3,7024592a,{displaystyle R={frac {1}{2}}left({sqrt {10}}+3{sqrt {2}}right)aapprox 3{,}7024592a,}

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ1=12(15+23)a≈3,6685425a,{displaystyle rho _{1}={frac {1}{2}}left({sqrt {15}}+2{sqrt {3}}right)aapprox 3{,}6685425a,}

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

ρ2=110(65+295)a≈3,6034146a,{displaystyle rho _{2}={sqrt {{frac {1}{10}}left(65+29{sqrt {5}}right)}};aapprox 3{,}6034146a,}

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r=14(7+35)a≈3,4270510a.{displaystyle r={frac {1}{4}}left(7+3{sqrt {5}}right)aapprox 3{,}4270510a.}

Примечания |

Ссылки |

• 
  Weisstein, Eric W. Стодвадцатиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.


• 
  Построение стодвадцатиячейника на YouTube
  


• Главы 3 и 4: Четвертое измерение (неопр.). Dimensions. dimensions-math.org. Архивировано 4 марта 2015 года.

	Стодвадцатиячейник на Викискладе