Узел (математика)
Восьмёрка (узел Листинга)
Узел в математике — вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Основной предмет изучения теории узлов. Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.
Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла, то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (можно ли его развязать).
Для определения того, является ли конкретный узел тривиальным, можно использовать различные инварианты узлов, например многочлен Александера или фундаментальную группу дополнения. Обычно их можно посчитать исходя из узловой диаграммы.
Содержание
1 Классификация
2 Узлы и зацепления
3 Инварианты узлов
4 Дополнение узла
5 Примечания
6 Литература
Классификация |
Трилистник, узел 31{displaystyle 3_{1}}
Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.
Восьмёрка, четырёхкратный узел или узел Листинга, узел 41{displaystyle 4_{1}}
Восьмёрка обозначается символом 41{displaystyle 4_{1}}
Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот. (То есть, эти два трилистника не изотопны.)
Также, можно показать, что трилистник (как правый, так и левый) неизотопен восьмёрке.
Пятилистник, известный также как узел 51{displaystyle 5_{1}}
Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись 212{displaystyle 2_{1}^{2}}
Это были примеры полиномиальных[1] узлов. Неполиномиальным узлом является дикий узел[2]
Пример дикого узла.
Ди́кий у́зел — узел L{displaystyle L}
E3{displaystyle E^{3}}
при котором L{displaystyle L}
Узлы и зацепления |
Вложение (чаще — его образ) несвязной суммы μ{displaystyle mu }
Зацепление кратности μ=1{displaystyle mu =1}
Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.
Инварианты узлов |
В теории узлов число пересечений узла — это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла.
Например, тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём.
Дополнение узла |
Воспроизвести медиафайл6₂ Узел
Теорема Гордона — Люка утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения. Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла, которая является просто фундаментальной группой его дополнения.
Примечания |
↑ Armstrong (1983), p. 215.
↑ Livingstone (1996), Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11-14.
Литература |
- Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — DOI:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
- P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
- C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0..
Мантуров В. О. Теория узлов. — М.: РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3..
Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М.: Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8..- Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М.: Мир, 1971. — 127 с.
- Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. — 286 с.
Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6..- Статьи «Теория узлов в конце XX века» // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
- Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
- H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.
- Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вып. 7. — DOI:10.1142/S0218216504003524.
- Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2, вып. 4. — DOI:10.1112/jtopol/jtp028.
Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry. (англ.)
Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots. (англ.)
Birman J.S. Braids, knots and contact structures. (англ.)
Weisstein, Eric W. Knot Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
