Поливектор
Поливектор (р-вектор) — элемент некоторой внешней степени ⋀p{displaystyle bigwedge nolimits ^{p}}
р-вектор может пониматься как кососимметризованный р раз контравариантный тензор на V{displaystyle V}
Полусумму 1-вектора и скаляра так же называют паравектором[1].
2-вектор также называют бивектором, а 3-вектор — тривектором. р-вектор дуален к р-форме. Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращения.
Свойства:
- любая линейно независимая система векторов a1,a2,…,ap{displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{p}}
из V{displaystyle V}
; такие поливектора называется разложимыми, или простыми;
линейно независимые системы a1,a2,…,ap{displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{p}}порождают одно и то же подпространство в V{displaystyle V}
a1∧a2∧⋯∧ap=λb1∧b2∧⋯∧bp{displaystyle a_{1}wedge a_{2}wedge dots wedge a_{p}=lambda b_{1}wedge b_{2}wedge dots wedge b_{p}};
- для любого ненулевого поливектора t∈⋀pV{displaystyle tin bigwedge nolimits ^{p}V}
его аннулятор Annt={v∈V|t∧v=0}{displaystyle operatorname {Ann} t={vin V|twedge v=0}}
есть подпространство размерности ≤p{displaystyle leq p}
, причём поливектор t{displaystyle t}
разложим тогда и только тогда, когда dimAnnt=p{displaystyle dim operatorname {Ann} t=p}
;
- разложимые р-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в Λp(V){displaystyle Lambda ^{p}(V)}
соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана;
- любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;
- бивектор t{displaystyle t}
;
- Если фиксировать ненулевой n{displaystyle n}
-вектор ω∈⋀n(V){displaystyle omega in bigwedge nolimits ^{n}(V)}
, то возникает естественный изоморфизм:
- π:⋀p(V)→⋀n−p(V){displaystyle pi :bigwedge nolimits ^{p}(V)to bigwedge nolimits ^{n-p}(V)}
- π:⋀p(V)→⋀n−p(V){displaystyle pi :bigwedge nolimits ^{p}(V)to bigwedge nolimits ^{n-p}(V)}
- такой, что t∧u=⟨π(t),u⟩ω{displaystyle twedge u=langle pi (t),urangle omega }
для всех u∈⋀n−p(V){displaystyle uin bigwedge nolimits ^{n-p}(V)}
.
Примечания |
↑ О.А. Морнев. Идемпотенты и нильпотенты в клиффордовой алгебре евклидова 3-пространства и их связь с физикой // Гиперкомплексные числа в геометрии и физике. — 2009. — Т. 6, № 2(12). — С. 92-137.
Литература |
Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — Наука, Москва, 1980.
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
