Cdtrjyty

Поливектор (р-вектор) — элемент некоторой внешней степени ⋀p{displaystyle bigwedge nolimits ^{p}} векторного пространства V{displaystyle V} над полем K{displaystyle K}.
р-вектор может пониматься как кососимметризованный р раз контравариантный тензор на V{displaystyle V}.

Полусумму 1-вектора и скаляра так же называют паравектором^[1].
2-вектор также называют бивектором, а 3-вектор — тривектором. р-вектор дуален к р-форме. Бивекторы связаны с псевдовекторами и используются для представления вращения.

Свойства:

• любая линейно независимая система векторов a1,a2,…,ap{displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{p}} из V{displaystyle V} определяет ненулевой р-вектор a1∧a2∧⋯∧ap{displaystyle a_{1}wedge a_{2}wedge dots wedge a_{p}}; такие поливектора называется разложимыми, или простыми;


• 
  линейно независимые системы a1,a2,…,ap{displaystyle a_{1},a_{2},dots ,a_{p}} и b1,b2,…,bp{displaystyle b_{1},b_{2},dots ,b_{p}} порождают одно и то же подпространство в V{displaystyle V} в том и только в том случае, когда
      a1∧a2∧⋯∧ap=λb1∧b2∧⋯∧bp{displaystyle a_{1}wedge a_{2}wedge dots wedge a_{p}=lambda b_{1}wedge b_{2}wedge dots wedge b_{p}};


• для любого ненулевого поливектора t∈⋀pV{displaystyle tin bigwedge nolimits ^{p}V} его аннулятор Ann⁡t={v∈V|t∧v=0}{displaystyle operatorname {Ann} t={vin V|twedge v=0}} есть подпространство размерности ≤p{displaystyle leq p}, причём поливектор t{displaystyle t} разложим тогда и только тогда, когда dim⁡Ann⁡t=p{displaystyle dim operatorname {Ann} t=p};


• разложимые р-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в Λp(V){displaystyle Lambda ^{p}(V)} соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана;


• любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;


• бивектор t{displaystyle t} разложим тогда и только тогда, когда t∧t=0{displaystyle twedge t=0};


• Если фиксировать ненулевой n{displaystyle n}-вектор ω∈⋀n(V){displaystyle omega in bigwedge nolimits ^{n}(V)}, то возникает естественный изоморфизм:
  

  
  

  π:⋀p(V)→⋀n−p(V){displaystyle pi :bigwedge nolimits ^{p}(V)to bigwedge nolimits ^{n-p}(V)}

  
  

  такой, что t∧u=⟨π(t),u⟩ω{displaystyle twedge u=langle pi (t),urangle omega } для всех u∈⋀n−p(V){displaystyle uin bigwedge nolimits ^{n-p}(V)}.

  
  

  
  

Примечания |

Литература |

• 
  Кострикин А. П., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — Наука, Москва, 1980.


• 
  Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.