Cdtrjyty

Шестисотячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестисотячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,5}
Ячеек	600
Граней	1200
Рёбер	720
Вершин	120
Вершинная фигура	Икосаэдр
Двойственный политоп	Стодвадцатиячейник

Проекция вращающегося шестисотячейника в трёхмерное пространство

Пра́вильный шестисотяче́йник, или просто шестисотяче́йник^[1], или гекзакосихор (от др.-греч. ἑξἀκόσιοι — «шестьсот» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Двойственен стодвадцатиячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[2]. Символ Шлефли шестисотячейника — {3,3,5}.

Описание |

Ограничен 600 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен arccos⁡(−1+358)≈164,48∘.{displaystyle arccos left(-{frac {1+3{sqrt {5}}}{8}}right)approx 164,48^{circ }.}

Его 1200 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 720 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 5 граней и по 5 ячеек.

Имеет 120 вершин. В каждой вершине сходятся по 12 рёбер, по 30 граней и по 20 ячеек.

В координатах |

Шестисотячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

• 8 из его вершин имели координаты (±2;0;0;0),{displaystyle (pm 2;0;0;0),} (0;±2;0;0),{displaystyle (0;pm 2;0;0),} (0;0;±2;0),{displaystyle (0;0;pm 2;0),} (0;0;0;±2){displaystyle (0;0;0;pm 2)} (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника);

• ещё 16 вершин — координаты (±1;±1;±1;±1){displaystyle (pm 1;pm 1;pm 1;pm 1)} (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, вместе с 8 предыдущими они дают вершины двадцатичетырёхячейника);

• координаты остальных 96 вершин были всевозможными чётными перестановками чисел (±Φ;±1;±Φ−1;0),{displaystyle (pm Phi ;pm 1;pm Phi ^{-1};0),} где Φ=1+52{displaystyle Phi ={frac {1+{sqrt {5}}}{2}}} — отношение золотого сечения (эти вершины расположены так же, как вершины курносого двадцатичетырёхячейника^[en]).

Начало координат (0;0;0;0){displaystyle (0;0;0;0)} будет центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Ортогональные проекции на плоскость |

Метрические характеристики |

Если шестисотячейник имеет ребро длины a,{displaystyle a,} то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

V4=254(2+5)a4≈26,4754249a4,{displaystyle V_{4}={frac {25}{4}}left(2+{sqrt {5}}right)a^{4}approx 26,4754249a^{4},}

S3=502a3≈70,7106781a3.{displaystyle S_{3}=50{sqrt {2}}a^{3}approx 70,7106781a^{3}.}

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

R=Φa=12(1+5)a≈1,6180340a,{displaystyle R=Phi a={frac {1}{2}}left(1+{sqrt {5}}right)aapprox 1,6180340a,}

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ1=125+25a≈1,5388418a,{displaystyle rho _{1}={frac {1}{2}}{sqrt {5+2{sqrt {5}}}};aapprox 1,5388418a,}

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

ρ2=16(15+33)a≈1,5115226a,{displaystyle rho _{2}={frac {1}{6}}left({sqrt {15}}+3{sqrt {3}}right)aapprox 1,5115226a,}

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

r=14(10+22)a≈1,4976762a.{displaystyle r={frac {1}{4}}left({sqrt {10}}+2{sqrt {2}}right)aapprox 1,4976762a.}

Примечания |

Ссылки |

• 
  Weisstein, Eric W. Шестисотячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

	Шестисотячейник на Викискладе