Cdtrjyty

Ромбоусечённый икосо­додекаэдр является самым большим архимедовым телом по объёму (для единичной длины ребра), а также имеющим больше всех других вершин и рёбер.

Псевдоромбокубооктаэдр имеет одну вершинную фигуру, 3.4.4.4, но с поворотом одного квадратного купола. В отличие от (не повёрнутого) ромбокубооктаэдра, фигура не является вершинно транзитивной.

В геометрии архиме́дово те́ло (архиме́дов многогра́нник) — это высоко симметричный полуправильный выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Они отличаются от платоновых тел (правильных многогранников), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона, правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.

Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую. Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гирокупол (псевдо­ромбо­кубо­октаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдо­ромбо­кубо­октаэдра, Грюнбаум^[1] предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гирокупол), в то время как однородный многогранник^[en] определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол).

Призмы и антипризмы, группами симметрий которых являются диэдрические группы, обычно не считаются архимедовыми телами, несмотря на то, что они подпадают под определение, данное выше. С этим ограничением существует только конечное число архимедовых тел. Все тела, кроме удлинённого квадратного гирокупола, можно получить построениями Витхоффа из платоновых тел с помощью тетраэдральной, октаэдральной^[en] и икосаэдральной^[en] симметрий.

Источник названия |

Архимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранников^[1]. Во времена Возрождения художники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном Кеплером^[2], который определил понятия призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо.

Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбоикосаэдр) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 Дунканом Соммервилем^[en][1].

Классификация |

Существует 13 архимедовых тел (не считая удлинённого квадратного гирокупола; 15, если учитывать зеркальные отражения двух энантиоморфов, которые ниже перечислены отдельно).

Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).

Название (Альтернативное название)	Шлефли Коксетер	Прозрачный	Непрозрачный	Развёртка	Вершинная фигура	Граней		Рёбер	Вершин	Объём (при единич- ном ребре)	Группа точек
Усечённый тетраэдр	{3,3}	(Вращение)			3.6.6	8	4 треугольника 4 шестиугольника	18	12	2.710576	Td
Кубооктаэдр (ромботетраэдр)	r{4,3} или rr{3,3} или	(Вращение)			3.4.3.4	14	8 Треугольников 6 квадратов	24	12	2.357023	Oh
Усечённый куб	t{4,3}	(Вращение)			3.8.8	14	8 треугольников 6 восьмиугольников	36	24	13.599663	Oh
Усечённый октаэдр (усечённый тетратераэдр)	t{3,4} или tr{3,3} или	(Вращение)			4.6.6	14	6 квадратов 8 шестиугольников	36	24	11.313709	Oh
Ромбокубооктаэдр (малый ромбокубооктаэдр)	rr{4,3}	(Вращение)			3.4.4.4	26	8 треугольников 18 квадратов	48	24	8.714045	Oh
Усечённый кубооктаэдр (большой ромбокубооктаэдр)	tr{4,3}	(Вращение)			4.6.8	26	12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников	72	48	41.798990	Oh
Плосконосый куб (плосконосый кубоктаэдр)	sr{4,3}	(Вращение)			3.3.3.3.4	38	32 треугольника 6 квадратов	60	24	7.889295	O
Икосододекаэдр	r{5,3}	(Вращение)			3.5.3.5	32	20 треугольников 12 пятиугольников	60	30	13.835526	Ih
Усечённый додекаэдр	t{5,3}	(Вращение)			3.10.10	32	20 треугольников 12 десятиугольников	90	60	85.039665	Ih
Усечённый икосаэдр	t{3,5}	(Вращение)			5.6.6	32	12 пятиугольников 20 шестиугольников	90	60	55.287731	Ih
Ромбоикосододекаэдр (малый ромбоикосододекаэдр)	rr{5,3}	(Вращение)			3.4.5.4	62	20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников	120	60	41.615324	Ih
Ромбоусечённый икосододекаэдр	tr{5,3}	(Вращение)			4.6.10	62	30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников	180	120	206.803399	Ih
Плосконосый додекаэдр (плосконосый икосододекаэдр)	sr{5,3}	(Вращение)			3.3.3.3.5	92	80 треугольников 12 пятиугольников	150	60	37.616650	I

Некоторые определения полуправильных многогранников включают ещё одно тело — удлинённый квадратный гирокупол или «псевдоромбокубооктаэдр»^[3].

Свойства |

Число вершин равно отношению 720° к угловому дефекту при вершине.

Кубоктаэдр и икосододекаэдр являются рёберно однородными^[en] и называются квазиправильными.

Двойственные многогранники архимедовых тел называются каталановыми телами. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они являются однородными по граням^[en] телами с правильными вершинами.

Хиральность |

Плосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны, поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений).

Построение архимедовых тел |

Архимедовы тела могут быть построены с помощью положения генератора в калейдоскопе

Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.

Построение архимедовых тел

Симметрия		Тетраэдральная	Октаэдральная[en]		Икосаэдральная[en]
Начальное тело Операция	Символ {p, q}	Тетраэдр {3,3}	Куб {4,3}	Октаэдр {3,4}	Додекаэдр {5,3}	Икосаэдр {3,5}
Усечение (t)	t{p, q}	Усечённый тетраэдр	Усечённый куб	Усечённый октаэдр	Усечённый додекаэдр	Усечённый икосаэдр
Полное усечение (r) Амвон (a)	r{p, q}	Тетратетраэдр	Кубооктаэдр		Икосододекаэдр
Глубокое усечение[en] (2t) (dk)	2t{p, q}	Усечённый тетраэдр	усечённый октаэдр	усечённый куб	усечённый икосаэдр	усечённый додекаэдр
Двойное полное усечение (2r) Двойственный (d)	2r{p, q}	тетраэдр	октаэдр	куб	икосаэдр	додекаэдр
Скашивание (rr) Растяжение (e)	rr{p, q}	Кубооктаэдр	Ромбокубооктаэдр		ромбоикосододекаэдр
Плосконосое спрямление (sr) Спрямление[en] (s)	sr{p, q}	плосконосый тетратетраэдр	плосконосый куб		плосконосый икосододекаэдр
скос-усечение[en] (tr) Скашивание (b)	tr{p, q}	Усечённый октаэдр	Усечённый кубооктаэдр		Ромбоусечённый икосододекаэдр

Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.

См. также |

• Апериодическая мозаика^[en]*


• Архимедов граф


• Список однородных многогранников


• Тороидальный многогранник


• Квазикристалл


• Полуправильный многогранник


• Правильный многогранник


• Однородный многогранник^[en]


• Икосоэдральный двойник^[en]

Примечания |

Литература |

• Field J.  Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.


• 
  Grünbaum, Branko.  An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
  


• Malkevitch, Joseph.  Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston: Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.


• 
  Pugh, Anthony.  Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2


• Udaya, Jayatilake.  Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.


• 
  Williams, Robert.  The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)

Ссылки |

• 
  Weisstein, Eric W. Archimedean solid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.


• 
  Archimedean Solids by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project.


• Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids


• Free paper models(nets) of Archimedean solids


• 
  The Uniform Polyhedra by Dr. R. Mäder


• 
  Virtual Reality Polyhedra, The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart


• 
  Penultimate Modular Origami by James S. Plank


• 
  Interactive 3D polyhedra на Java


• 
  Solid Body Viewer Интерактивный просмотр 3D-многогранников, который позволяет сохранить модель в svg-, stl- или obj-формате.


• 
  Stella: Polyhedron Navigator: Программное обеспечение для создания изображений, многие из которых присутствуют на этой странице.


• Paper Models of Archimedean (and other) Polyhedra

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.