Cdtrjyty

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Определение |

Норма вектора |

Норма в векторном пространстве V {displaystyle V } над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал p:V→R{displaystyle pcolon Vto mathbb {R} }, обладающий следующими свойствами:

1. p(x)=0⇒x=0V;{displaystyle p(x)=0Rightarrow x=0_{V};}


2. 
   ∀x,y∈V,p(x+y)⩽p(x)+p(y){displaystyle forall x,yin V,p(x+y)leqslant p(x)+p(y)} (неравенство треугольника);


3. ∀α∈C,∀x∈V,p(αx)=|α|p(x).{displaystyle forall alpha in mathbb {C} ,forall xin V,p(alpha ,x)=|alpha |p(x).}

Эти условия являются аксиомами нормы.

Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.

Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:

∀x∈V,p(x)⩾0{displaystyle forall xin V,p(x)geqslant 0}.

Действительно, из третьего свойства следует: p(0V)=p(0⋅0V)=0⋅p(0V)=0{displaystyle p(0_{V})=p(0cdot 0_{V})=0cdot p(0_{V})=0}, а из свойства 2 — ∀x∈V:0=p(0V)=p(x−x)⩽p(x)+p(−x)=2p(x){displaystyle forall xin Vcolon 0=p(0_{V})=p(x-x)leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)}.

Чаще всего норму обозначают в виде: ‖⋅‖{displaystyle |cdot |}. В частности, ‖x‖{displaystyle |x|} — это норма элемента x{displaystyle x} векторного пространства R{displaystyle mathbb {R} }.

Вектор с единичной нормой (‖x‖=1){displaystyle left(|x|=1right)} называется единичным или нормированным.

Любой ненулевой вектор x{displaystyle x} можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор x‖x‖{displaystyle {frac {x}{|x|}}} имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.

Норма матрицы |

Нормой матрицы A{displaystyle A} называется вещественное число ‖A‖{displaystyle |A|}, удовлетворяющее первым трём из следующих условий:

1. 
   ‖A‖⩾0{displaystyle |A|geqslant 0}, причём ‖A‖=0{displaystyle |A|=0} только при A=0 {displaystyle A=0 };


2. 
   ‖αA‖=|α|⋅‖A‖{displaystyle |alpha A|=|alpha |cdot |A|}, где α∈R{displaystyle alpha in mathbb {R} };


3. 
   ‖A+B‖⩽‖A‖+‖B‖{displaystyle |A+B|leqslant |A|+|B|};


4. 
   ‖AB‖⩽‖A‖⋅‖B‖{displaystyle |AB|leqslant |A|cdot |B|}.

Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.

Матричная норма ‖⋅‖ab{displaystyle |cdot |_{ab}} из Km×n{displaystyle K^{mtimes n}} называется согласованной с векторной нормой ‖⋅‖a{displaystyle |cdot |_{a}} из Kn{displaystyle K^{n}} и векторной нормой ‖⋅‖b{displaystyle |cdot |_{b}} из Km{displaystyle K^{m}} если справедливо:

‖Ax‖b⩽‖A‖ab‖x‖a{displaystyle |Ax|_{b}leqslant |A|_{ab}|x|_{a}}

для всех A∈Km×n,x∈Kn{displaystyle Ain K^{mtimes n},xin K^{n}}.

Норма оператора |

Норма оператора A{displaystyle A} — число, которое определяется так:

‖A‖=sup‖x‖=1‖Ax‖{displaystyle |A|=sup _{|x|=1}|Ax|},

где A{displaystyle A} — оператор, действующий из нормированного пространства L{displaystyle L} в нормированное пространство K{displaystyle K}.

Это определение эквивалентно следующему:

‖A‖=supx≠0‖Ax‖‖x‖{displaystyle |A|=sup _{xneq 0}{frac {|Ax|}{|x|}}}

• Свойства операторных норм:

1. 
   ‖A‖⩾0{displaystyle |A|geqslant 0}, причём ‖A‖=0{displaystyle |A|=0} только при A=0{displaystyle A=0};


2. 
   ‖αA‖=|α|⋅‖A‖{displaystyle |alpha A|=|alpha |cdot |A|}, где α∈R{displaystyle alpha in mathbb {R} };


3. 
   ‖A+B‖⩽‖A‖+‖B‖{displaystyle |A+B|leqslant |A|+|B|};


4. 
   ‖AB‖⩽‖A‖⋅‖B‖{displaystyle |AB|leqslant |A|cdot |B|}.

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

Свойства нормы |

1. |‖x‖−‖y‖|⩽‖x±y‖⩽‖x‖+‖y‖{displaystyle {bigl |}|x|-|y|{bigr |}leqslant |xpm y|leqslant |x|+|y|}


2. (‖x‖−‖y‖)2⩽‖x±y‖2⩽(‖x‖+‖y‖)2{displaystyle {{bigl (}|x|-|y|{bigr )}}^{2}leqslant {|xpm y|}^{2}leqslant {{bigr (}|x|+|y|{bigl )}}^{2}}


3. 
   ‖x‖2+‖y‖2−‖x−y‖22‖x‖‖y‖∈[−1,1]{displaystyle {frac {|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2}}{2|x||y|}}in [-1,1]} [косинус угла]


4. ‖0V‖=‖x−x‖=‖0x‖=0⋅‖x‖=0{displaystyle |0_{V}|=|x-x|=|0x|=0cdot |x|=0}


5. 0=‖x−x‖⩽‖x‖+‖−x‖=2‖x‖⇒‖x‖⩾0{displaystyle 0=|x-x|leqslant |x|+|-x|=2|x|Rightarrow |x|geqslant 0}

Эквивалентность норм |

• Две нормы p{displaystyle p} и q{displaystyle q} на пространстве V{displaystyle V} называются эквивалентными, если существует две положительные константы C1{displaystyle C_{1}} и C2{displaystyle C_{2}} такие, что для любого x∈V{displaystyle xin V} выполняется C1p(x)⩽q(x)⩽C2p(x){displaystyle C_{1}p(x)leqslant q(x)leqslant C_{2}p(x)}. Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Примеры |

Линейные нормированные пространства |

Изображение единичных окружностей для различных норм.

• Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму

‖x‖=⟨x,x⟩,x∈X.{displaystyle |x|={sqrt {langle x,xrangle }},quad xin X.}

• 
  Гёльдеровы нормы n{displaystyle n}-мерных векторов (семейство): ‖x‖p=(∑i|xi|p)1p{displaystyle |x|_{p}={left(sum _{i}|x_{i}|^{p}right)}^{frac {1}{p}}},

где p⩾1{displaystyle pgeqslant 1} (обычно подразумевается, что это натуральное число).
В частности:

• 
  ‖x‖1=∑i|xi|{displaystyle |x|_{1}=sum _{i}|x_{i}|}, что также имеет название метрика L1, норма ℓ1{displaystyle ell _{1}} или манхэттенское расстояние. Для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.


• 
  ‖x‖2=∑i|xi|2{displaystyle |x|_{2}={sqrt {sum _{i}|x_{i}|^{2}}}}, что также имеет название метрика L2, норма ℓ2{displaystyle ell _{2}} или евклидова норма. Является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.


• 
  ‖x‖∞=max|xi|{displaystyle |x|_{infty }=max |x_{i}|} (это предельный случай p→∞{displaystyle prightarrow infty }).

• Нормы функций в C[0,1]{displaystyle C[0,1]} — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
  
  
  
  • 
    ‖f‖C[0,1]=supx∈[0,1]|f(x)|{displaystyle |f|_{C[0,1]}=sup _{xin [0,1]}|f(x)|} — в смысле этой нормы пространство C[0,1]{displaystyle C[0,1]} непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
  
  
  • ‖f‖=∫01|f(t)|dt{displaystyle |f|=int limits _{0}^{1}|f(t)|,dt}
  
  
  • ‖f‖=∫01|f(t)|2dt{displaystyle |f|={sqrt {int limits _{0}^{1}|f(t)|^{2},dt}}}
  
  
  
  

• Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив |f(x)| {displaystyle |f(x)| } на ‖f(x)‖ {displaystyle |f(x)| }, а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).

ℓ0{displaystyle ell _{0}} «норма» |

Особым случаем является ℓ0{displaystyle ell _{0}} (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей ℓ0{displaystyle ell _{0}}-нормой. С помощью этой «нормы» может быть определенно расстояние Хэмминга.

Некоторые виды матричных норм |

• Порожденные нормы ‖A‖p=sup‖x‖p=1‖Ax‖p{displaystyle |A|_{p}=sup _{|x|_{p}=1}|Ax|_{p}}:
  
  
  
  • 
    p=1{displaystyle p=1}: m{displaystyle m}-норма, ‖A‖m=maxj∑i|aij|{displaystyle |A|_{m}=max _{j}sum _{i}|a_{ij}|}
    
  
  
  • 
    p=2{displaystyle p=2} (евклидова норма) и m=n{displaystyle m=n} (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы A{displaystyle A} равна наибольшему сингулярному числу матрицы A{displaystyle A} или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы A†A{displaystyle A^{dagger }A}: ‖A‖2=λmax(A†A){displaystyle left|Aright|_{2}={sqrt {lambda _{text{max}}(A^{dagger }A)}}}, где A†{displaystyle A^{dagger }} обозначает матрицу, сопряжённую к матрице A{displaystyle A}.
  
  
  • 
    p=∞{displaystyle p=infty }: l{displaystyle l}-норма ‖A‖l=maxi∑j|aij|{displaystyle |A|_{l}=max _{i}sum _{j}|a_{ij}|}
    
  
  
  
  

Здесь A†{displaystyle A^{dagger }} — сопряжённая к A{displaystyle A} матрица, Tr{displaystyle mathrm {Tr} } — след матрицы.

• Поэлементная p{displaystyle p}-норма (p>0{displaystyle p>0}): ‖A‖p=(∑i,j|aij|p)1p{displaystyle |A|_{p}=left(sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}right)^{frac {1}{p}}}
  
  • 
    Норма Фробениуса: ‖A‖F=‖A‖2=∑i,j|aij|2=TrA†A{displaystyle |A|_{F}=|A|_{2}={sqrt {sum _{i,j}|a_{ij}|^{2}}}={sqrt {mathrm {Tr} ,A^{dagger }A}}}.
  
  

Связанные понятия |

Топология пространства и норма |

Норма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида B(x,r)={y:‖x−y‖<r}{displaystyle B(x,r)={ycolon |x-y|<r}}. Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.

См. также |

• Полунорма


• Метрика


• Скалярное произведение

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.