Метрическое пространство
Не следует путать с метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.
Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой.
Содержание
1 Определения
1.1 Замечания
2 Обозначения
3 Связанные определения
4 Примеры
5 Конструкции
6 Свойства
7 Вариации и обобщения
8 История
9 Примечания
10 См. также
11 Литература
Определения |
Метрическое пространство есть пара (X,d){displaystyle (X,;d)}
d(x,y)=0⇔x=y{displaystyle d(x,;y)=0Leftrightarrow x=y}(аксиома тождества).
d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,;y)=d(y,;x)}(аксиома симметрии).
d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z)}(аксиома треугольника или неравенство треугольника).
При этом
- множество X{displaystyle X}
- элементы множества X{displaystyle X}
- функция d{displaystyle d}
Замечания |
- Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку
0=d(x,x)⩽d(x,y)+d(y,x)=2⋅d(x,y){displaystyle 0=d(x,;x)leqslant d(x,;y)+d(y,;x)=2{cdot }d(x,;y)}.
- Если неравенство треугольника представить в виде
d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z){displaystyle d(x,y)leqslant d(x,z)+d(y,z)}для всех x,y{displaystyle x,y}
и z{displaystyle z}
,
- тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.
- Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от x до y то же самое, что и расстояние от y до x. Неравенство треугольника означает, что расстояние от x до z через y не меньше чем прямо от x до z.
Обозначения |
Обычно расстояние между точками x{displaystyle x}
- В метрической геометрии принято обозначение |xy|{displaystyle |xy|}
или |xy|M{displaystyle |xy|_{M}}
, если необходимо подчеркнуть что речь идет о M{displaystyle M}
и |x−y|M{displaystyle |x-y|_{M}}
(несмотря на то, что выражение x−y{displaystyle x-y}
для точек x{displaystyle x}
- В классической геометрии приняты обозначения XY{displaystyle XY}
или |XY|{displaystyle |XY|}
(точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).
Связанные определения |
Биекция между различными метрическими пространствами (X,dX){displaystyle (X,;d_{X})}и (Y,dY){displaystyle (Y,;d_{Y})}
, сохраняющая расстояния, называется изометрией;
- В этом случае пространства (X,dX){displaystyle (X,;d_{X})}
- В этом случае пространства (X,dX){displaystyle (X,;d_{X})}
- Если M{displaystyle M}
метрики dX{displaystyle d_{X}}
на множество M{displaystyle M}
, которое называется подпространством пространства (X,d){displaystyle (X,;d)}
- Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.
- Метрика d{displaystyle d}
- Пространство называется геодезическим если любые две точки x{displaystyle x}
- Пространство называется геодезическим если любые две точки x{displaystyle x}
- Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:
- B(x;r)={y∈M∣d(x,y)<r},{displaystyle B(x;;r)={yin Mmid d(x,;y)<r},}
- B(x;r)={y∈M∣d(x,y)<r},{displaystyle B(x;;r)={yin Mmid d(x,;y)<r},}
- где x{displaystyle x}
— положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O{displaystyle O}
является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.
- Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
- Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
Расстояние d(x,S){displaystyle d(x,;S)}от точки x{displaystyle x}
в M{displaystyle M}
- d(x,S)=inf{d(x,s)∣s∈S}.{displaystyle d(x,;S)=inf{d(x,;s)mid sin S}.}
- d(x,S)=inf{d(x,s)∣s∈S}.{displaystyle d(x,;S)=inf{d(x,;s)mid sin S}.}
- Тогда d(x,S)=0{displaystyle d(x,;S)=0}
, только если x{displaystyle x}
Примеры |
Дискретная метрика: d(x,y)=0{displaystyle d(x,;y)=0}, если x=y{displaystyle x=y}
, и d(x,y)=1{displaystyle d(x,;y)=1}
во всех остальных случаях.
Вещественные числа с функцией расстояния d(x,y)=|y−x|{displaystyle d(x,;y)=|y-x|}и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
Расстояние городских кварталов: d(p,q)=‖p−q‖=∑i=1n|pi−qi|{displaystyle d(mathbf {p} ,mathbf {q} )=|mathbf {p} -mathbf {q} |=sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|}, где p=(p1,p2,…,pn){displaystyle mathbf {p} =(p_{1},p_{2},dots ,p_{n})}
, q=(q1,q2,…,qn){displaystyle mathbf {q} =(q_{1},q_{2},dots ,q_{n})}
— векторы.
- Пусть F(X,Y){displaystyle F(X,;Y)}
— пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства X{displaystyle X}
. Расстояние между двумя отображениями f1{displaystyle f_{1}}
и f2{displaystyle f_{2}}
из этого пространства определяется как
- dF(f1,f2)=sup{dY(f1(x),f2(x)):x∈X}.{displaystyle d_{F}(f_{1},;f_{2})=sup{d_{Y}(f_{1}(x),;f_{2}(x))colon xin X}.}
- dF(f1,f2)=sup{dY(f1(x),f2(x)):x∈X}.{displaystyle d_{F}(f_{1},;f_{2})=sup{d_{Y}(f_{1}(x),;f_{2}(x))colon xin X}.}
- Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве X{displaystyle X}
- В частном случае, когда X{displaystyle X}
всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.
- Пусть L[a,b]{displaystyle L[a,;b]}
, R[a,b]{displaystyle R[a,;b]}
, C[a,b]{displaystyle C[a,;b]}
— пространства функций на отрезке [a,b]{displaystyle [a,;b]}
, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:
- d(f1,f2)=∫ab|f1(x)−f2(x)|dx.{displaystyle d(f_{1},;f_{2})=int limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|,dx.}
- d(f1,f2)=∫ab|f1(x)−f2(x)|dx.{displaystyle d(f_{1},;f_{2})=int limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|,dx.}
- Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)
- В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций Ck[a,b]{displaystyle C^{k}[a,;b]}
метрика вводится по формуле:
- dk(f1,f2)=max{d0(f1,f2),d0(f1′,f2′),…,d0(f1(k),f2(k))},{displaystyle d_{k}(f_{1},;f_{2})=max{d_{0}(f_{1},;f_{2}),;d_{0}(f'_{1},;f'_{2}),;ldots ,;d_{0}(f_{1}^{(k)},;f_{2}^{(k)})},}
- dk(f1,f2)=max{d0(f1,f2),d0(f1′,f2′),…,d0(f1(k),f2(k))},{displaystyle d_{k}(f_{1},;f_{2})=max{d_{0}(f_{1},;f_{2}),;d_{0}(f'_{1},;f'_{2}),;ldots ,;d_{0}(f_{1}^{(k)},;f_{2}^{(k)})},}
- где d0{displaystyle d_{0}}
— метрика равномерной сходимости на C[a,b]{displaystyle C[a,;b]}
- Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния
d(x,y)=‖y−x‖{displaystyle d(x,;y)=|y-x|}.
- Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
- В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.
- Если (pn)n∈N{displaystyle (p_{n})_{nin N}}
является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство E, то
- d(x,y)=∑n=1∞12npn(x−y)1+pn(x−y){displaystyle d(x,y)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}{frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}
- является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить 12n{displaystyle {frac {1}{2^{n}}}}
на любую суммируемую последовательность (an){displaystyle (a_{n})}
строго положительных чисел.)
- Любое связное риманово многообразие M{displaystyle M}
- Множество вершин любого связного графа G{displaystyle G}
можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
- Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.
Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
Строковые метрики[en], такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.
- Множество компактных подмножеств K(M){displaystyle K(M)}
любого метрического пространства M{displaystyle M}
- D(X,Y)=inf{r|∀x∈X∃y∈Y:d(x,y)<r∀y∈Y∃x∈X:d(x,y)<r}.{displaystyle D(X,;Y)=inf left{r;left|;{begin{matrix}forall xin X;exists yin Ycolon d(x,;y)<r\forall yin Y;exists xin Xcolon d(x,;y)<rend{matrix}}right.right}.}
- D(X,Y)=inf{r|∀x∈X∃y∈Y:d(x,y)<r∀y∈Y∃x∈X:d(x,y)<r}.{displaystyle D(X,;Y)=inf left{r;left|;{begin{matrix}forall xin X;exists yin Ycolon d(x,;y)<r\forall yin Y;exists xin Xcolon d(x,;y)<rend{matrix}}right.right}.}
- Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.
Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.
Конструкции |
Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
- dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=dX(x1,x2)+dY(y1,y2);{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=d_{X}(x_{1},;x_{2})+d_{Y}(y_{1},;y_{2});}
- dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=dX(x1,x2)2+dY(y1,y2)2;{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))={sqrt {d_{X}(x_{1},;x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},;y_{2})^{2}}};}
- dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=max{dX(x1,x2),dY(y1,y2)}.{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=max{d_{X}(x_{1},;x_{2}),;d_{Y}(y_{1},;y_{2})}.}
- dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=dX(x1,x2)+dY(y1,y2);{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=d_{X}(x_{1},;x_{2})+d_{Y}(y_{1},;y_{2});}
- Эти метрики эквивалентны друг другу.
Свойства |
- Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
- Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
- Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
- Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
Вариации и обобщения |
- Для данного множества M{displaystyle M}
называется псевдометрикой или полуметрикой на M{displaystyle M}
из M{displaystyle M}
- d(x,x)=0;{displaystyle d(x,;x)=0;}
d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,;y)=d(y,;x)}
d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z)}
- d(x,x)=0;{displaystyle d(x,;x)=0;}
- То есть, в отличие от метрики, различные точки в M{displaystyle M}
, где x∼y⇔d(x,y)=0{displaystyle xsim yLeftrightarrow d(x,;y)=0}
.
- Для данного множества M{displaystyle M}
- d(x,x)=0;{displaystyle d(x,;x)=0;}
d(x,y)⩽c⋅d(y,x){displaystyle d(x,;y)leqslant ccdot d(y,;x)}(квазисимметрия);
d(x,z)⩽c⋅(d(x,y)+d(y,z)){displaystyle d(x,;z)leqslant ccdot (d(x,;y)+d(y,;z))}(обобщённое неравенство треугольника).
- d(x,x)=0;{displaystyle d(x,;x)=0;}
- Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
- Для всех x{displaystyle x}
.
- Для всех x{displaystyle x}
- Иногда удобно рассматривать ∞{displaystyle infty }
-метрики, то есть метрики со значениями [0;∞]{displaystyle [0;;infty ]}
. Для любой ∞{displaystyle infty }
d′(x,y)=d(x,y)1+d(x,y){displaystyle d'(x,;y)={frac {d(x,;y)}{1+d(x,;y)}}}или d″(x,y)=min(1,d(x,y)).{displaystyle d''(x,;y)=min {(1,;d(x,;y))}.}
- Также, для любой точки x{displaystyle x}
- Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии[1][2]. Название этого обобщения не вполне устоялось[3]. В своей книге Смит[2] назывет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0}(положительность)
d(x,y)=0⟺x=y{displaystyle d(x,y)=0iff x=y}(положительная определённсть)
d(x, y)=d(y, x)(симметрия вычеркнута)
d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)}(неравенство треугольника)
- Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество X горных сёл, время прогулки между элементами X образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки A в точку B состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из B в A.
- В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
- d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0}
- из d(x,y)=0{displaystyle d(x,y)=0}
следует x=y (но не наоборот.)
- d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,y)=d(y,x)}
d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)}
- d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0}
- Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству d(x, x)=0 для точек x на границе, но в противном случае d(x, x) примерно равно расстоянию от x до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля [4].
- Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
- d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0}
- d(x,x)=0{displaystyle d(x,x)=0}
- d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0}
- Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики[5] или псевдометрики[6]. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика»[7][8].
- Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного r определяется r-шар с центом в точке p как
Br(p)={x|d(x,p)<r}{displaystyle B_{r}(p)={x|d(x,p)<r}}. Множество называется открытым, если для любой точки p в множестве существует r-шар с центром в p, который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством[en].В общем случае сами r-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами A и B определяется как
d(A,B)=infx∈A,y∈Bd(x,y){displaystyle d(A,B)=inf _{xin A,yin B}d(x,y)}.
- Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к оператору предзамыкания[en] cl:
cl(A)={x|d(x,A)=0}{displaystyle cl(A)={x|d(x,A)=0}}.
- Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество {0,1} с преметрикой, задаваемой функцией d, такой что d(0,1)=1 и d(1,0)=0. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.
- Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства»[9][10]. С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Пространства подходов[en] являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.
История |
Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[11] в связи с рассмотрением функциональных пространств.
Примечания |
↑ Steen, Seebach, 1995.
↑ 12 Smyth, 1987, с. 236–253.
↑ Rolewicz, 1987.
↑ Väisälä, 2005, с. 187–231.
↑ Булдыгин, Козаченко, 1998.
↑ Хелемский, 2004.
↑ Архангельский, Федорчук, 1988, с. 30.
↑ Pereira, Aldrovandi, 1995.
↑ Lawvere, 2002, с. 1–37.
↑ Vickers, 2005, с. 328–356.
↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.
См. также |
- Индуцированная метрика
Литература |
- Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.
Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
