Метрическое пространство




Не следует путать с метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.

У этого термина существуют и другие значения, см. Метрика.

У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.

Метри́ческим простра́нством называется непустое множество, в котором между любой парой элементов, обладающих определенными свойствами, определено расстояние, называемое ме́трикой.




Содержание






  • 1 Определения


    • 1.1 Замечания




  • 2 Обозначения


  • 3 Связанные определения


  • 4 Примеры


  • 5 Конструкции


  • 6 Свойства


  • 7 Вариации и обобщения


  • 8 История


  • 9 Примечания


  • 10 См. также


  • 11 Литература





Определения |


Метрическое пространство есть пара (X,d){displaystyle (X,;d)}(X,;d), где X{displaystyle X}X — множество, а d{displaystyle d}d — числовая функция, которая определена на декартовом произведении X×X{displaystyle Xtimes X}Xtimes X, принимает значения в множестве вещественных чисел, и такова, что




  1. d(x,y)=0⇔x=y{displaystyle d(x,;y)=0Leftrightarrow x=y}d(x,;y)=0Leftrightarrow x=y (аксиома тождества).


  2. d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,;y)=d(y,;x)}d(x,;y)=d(y,;x) (аксиома симметрии).


  3. d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z)}d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z) (аксиома треугольника или неравенство треугольника).


При этом



  • множество X{displaystyle X}X называется подлежащим множеством метрического пространства.

  • элементы множества X{displaystyle X}X называются точками метрического пространства.

  • функция d{displaystyle d}d называется метрикой.



Замечания |



  • Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

    0=d(x,x)⩽d(x,y)+d(y,x)=2⋅d(x,y){displaystyle 0=d(x,;x)leqslant d(x,;y)+d(y,;x)=2{cdot }d(x,;y)}0=d(x,;x)leqslant d(x,;y)+d(y,;x)=2{cdot }d(x,;y).


  • Если неравенство треугольника представить в виде

    d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z){displaystyle d(x,y)leqslant d(x,z)+d(y,z)}d(x,y)leqslant d(x,z)+d(y,z) для всех x,y{displaystyle x,y}x,y и z{displaystyle z}z,



тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

  • Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от x до y то же самое, что и расстояние от y до x. Неравенство треугольника означает, что расстояние от x до z через y не меньше чем прямо от x до z.


Обозначения |


Обычно расстояние между точками x{displaystyle x}x и y{displaystyle y}y в метрическом пространстве M{displaystyle M}M обозначается d(x,y){displaystyle d(x,;y)}d(x,;y) или ρ(x,y){displaystyle rho (x,;y)}rho (x,;y).



  • В метрической геометрии принято обозначение |xy|{displaystyle |xy|}|xy| или |xy|M{displaystyle |xy|_{M}}|xy|_{M}, если необходимо подчеркнуть что речь идет о M{displaystyle M}M. Также употребляются обозначения |x−y|{displaystyle |x-y|}|x-y| и |x−y|M{displaystyle |x-y|_{M}}|x-y|_{M} (несмотря на то, что выражение x−y{displaystyle x-y}x-y для точек x{displaystyle x}x и y{displaystyle y}y не имеет смысла).

  • В классической геометрии приняты обозначения XY{displaystyle XY}XY или |XY|{displaystyle |XY|}|XY| (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).



Связанные определения |




  • Биекция между различными метрическими пространствами (X,dX){displaystyle (X,;d_{X})}(X,;d_{X}) и (Y,dY){displaystyle (Y,;d_{Y})}(Y,;d_{Y}), сохраняющая расстояния, называется изометрией;
    • В этом случае пространства (X,dX){displaystyle (X,;d_{X})}(X,;d_{X}) и (Y,dY){displaystyle (Y,;d_{Y})}(Y,;d_{Y}) называются изометричными.


  • Если M{displaystyle M}M подмножество множества X{displaystyle X}X, то, рассматривая сужение dM=dX|M{displaystyle d_{M}=d_{X}{Big |}_{M}}d_{M}=d_{X}{Big |}_{M} метрики dX{displaystyle d_{X}}d_{X} на множество M{displaystyle M}M, можно получить метрическое пространство (M,dM){displaystyle (M,;d_{M})}(M,;d_{M}), которое называется подпространством пространства (X,d){displaystyle (X,;d)}(X,;d).

  • Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.





  • Метрика d{displaystyle d}d на M{displaystyle M}M называется внутренней, если любые две точки x{displaystyle x}x и y{displaystyle y}y в M{displaystyle M}M можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к d(x,y){displaystyle d(x,;y)}d(x,;y).
    • Пространство называется геодезическим если любые две точки x{displaystyle x}x и y{displaystyle y}y в M{displaystyle M}M можно соединить кривой с длиной равной d(x,y){displaystyle d(x,;y)}d(x,;y).


  • Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:



B(x;r)={y∈M∣d(x,y)<r},{displaystyle B(x;;r)={yin Mmid d(x,;y)<r},}B(x;;r)={yin Mmid d(x,;y)<r},

где x{displaystyle x}x есть точка в M{displaystyle M}M и r{displaystyle r}r — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество O{displaystyle O}O является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.



  • Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.

  • Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.


  • Расстояние d(x,S){displaystyle d(x,;S)}d(x,;S) от точки x{displaystyle x}x до подмножества S{displaystyle S}S в M{displaystyle M}M определяется по формуле:



d(x,S)=inf{d(x,s)∣s∈S}.{displaystyle d(x,;S)=inf{d(x,;s)mid sin S}.}d(x,;S)=inf{d(x,;s)mid sin S}.

Тогда d(x,S)=0{displaystyle d(x,;S)=0}d(x,;S)=0, только если x{displaystyle x}x принадлежит замыканию S{displaystyle S}S.



Примеры |




  • Дискретная метрика: d(x,y)=0{displaystyle d(x,;y)=0}d(x,;y)=0, если x=y{displaystyle x=y}x=y, и d(x,y)=1{displaystyle d(x,;y)=1}d(x,;y)=1 во всех остальных случаях.


  • Вещественные числа с функцией расстояния d(x,y)=|y−x|{displaystyle d(x,;y)=|y-x|}d(x,;y)=|y-x| и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.


  • Расстояние городских кварталов: d(p,q)=‖p−q‖=∑i=1n|pi−qi|{displaystyle d(mathbf {p} ,mathbf {q} )=|mathbf {p} -mathbf {q} |=sum _{i=1}^{n}|p_{i}-q_{i}|}d({mathbf {p}},{mathbf {q}})=|{mathbf {p}}-{mathbf {q}}|=sum _{{i=1}}^{n}|p_{i}-q_{i}|, где p=(p1,p2,…,pn){displaystyle mathbf {p} =(p_{1},p_{2},dots ,p_{n})}mathbf {p} =(p_{1},p_{2},dots ,p_{n}), q=(q1,q2,…,qn){displaystyle mathbf {q} =(q_{1},q_{2},dots ,q_{n})}{mathbf {q}}=(q_{1},q_{2},dots ,q_{n}) — векторы.

  • Пусть F(X,Y){displaystyle F(X,;Y)}F(X,;Y) — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства X{displaystyle X}X в метрическое пространство Y{displaystyle Y}Y. Расстояние между двумя отображениями f1{displaystyle f_{1}}f_1 и f2{displaystyle f_{2}}f_{2} из этого пространства определяется как
    dF(f1,f2)=sup{dY(f1(x),f2(x)):x∈X}.{displaystyle d_{F}(f_{1},;f_{2})=sup{d_{Y}(f_{1}(x),;f_{2}(x))colon xin X}.}d_{F}(f_{1},;f_{2})=sup{d_{Y}(f_{1}(x),;f_{2}(x))colon xin X}.




Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве X{displaystyle X}X.

В частном случае, когда X{displaystyle X}X — компактное пространство, Y{displaystyle Y}Y — числовая прямая, получается пространство C(X){displaystyle C(X)}C(X) всех непрерывных функций на пространстве X с метрикой равномерной сходимости.


  • Пусть L[a,b]{displaystyle L[a,;b]}L[a,;b], R[a,b]{displaystyle R[a,;b]}R[a,;b], C[a,b]{displaystyle C[a,;b]}C[a,;b] — пространства функций на отрезке [a,b]{displaystyle [a,;b]}[a,;b], соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:
    d(f1,f2)=∫ab|f1(x)−f2(x)|dx.{displaystyle d(f_{1},;f_{2})=int limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|,dx.}d(f_{1},;f_{2})=int limits _{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|,dx.


Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

  • В пространстве k раз непрерывно дифференцируемых функций Ck[a,b]{displaystyle C^{k}[a,;b]}C^{k}[a,;b] метрика вводится по формуле:
    dk(f1,f2)=max{d0(f1,f2),d0(f1′,f2′),…,d0(f1(k),f2(k))},{displaystyle d_{k}(f_{1},;f_{2})=max{d_{0}(f_{1},;f_{2}),;d_{0}(f'_{1},;f'_{2}),;ldots ,;d_{0}(f_{1}^{(k)},;f_{2}^{(k)})},}d_{k}(f_{1},;f_{2})=max{d_{0}(f_{1},;f_{2}),;d_{0}(f'_{1},;f'_{2}),;ldots ,;d_{0}(f_{1}^{{(k)}},;f_{2}^{{(k)}})},


где d0{displaystyle d_{0}}d_{0} — метрика равномерной сходимости на C[a,b]{displaystyle C[a,;b]}C[a,;b] (см. выше).

  • Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

    d(x,y)=‖y−x‖{displaystyle d(x,;y)=|y-x|}d(x,;y)=|y-x|.


    • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;

    • В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.



  • Если (pn)n∈N{displaystyle (p_{n})_{nin N}}{displaystyle (p_{n})_{nin N}} является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство E, то


d(x,y)=∑n=1∞12npn(x−y)1+pn(x−y){displaystyle d(x,y)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}{frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}{displaystyle d(x,y)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{2^{n}}}{frac {p_{n}(x-y)}{1+p_{n}(x-y)}}}

является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить 12n{displaystyle {frac {1}{2^{n}}}}{displaystyle {frac {1}{2^{n}}}} на любую суммируемую последовательность (an){displaystyle (a_{n})}(a_{n}) строго положительных чисел.)


  • Любое связное риманово многообразие M{displaystyle M}M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.


  • Множество вершин любого связного графа G{displaystyle G}G можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
    • Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.



  • Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.




  • Расстояние Хэмминга в теории кодирования.


  • Строковые метрики[en], такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.


  • Множество компактных подмножеств K(M){displaystyle K(M)}K(M) любого метрического пространства M{displaystyle M}M можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

D(X,Y)=inf{r|∀x∈X∃y∈Y:d(x,y)<r∀y∈Y∃x∈X:d(x,y)<r}.{displaystyle D(X,;Y)=inf left{r;left|;{begin{matrix}forall xin X;exists yin Ycolon d(x,;y)<r\forall yin Y;exists xin Xcolon d(x,;y)<rend{matrix}}right.right}.}D(X,;Y)=inf left{r;left|;{begin{matrix}forall xin X;exists yin Ycolon d(x,;y)<r\forall yin Y;exists xin Xcolon d(x,;y)<rend{matrix}}right.right}.


  • Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.


  • Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.



Конструкции |



  • Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:

    1. dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=dX(x1,x2)+dY(y1,y2);{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=d_{X}(x_{1},;x_{2})+d_{Y}(y_{1},;y_{2});}d_{{Xtimes Y}}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=d_{X}(x_{1},;x_{2})+d_{Y}(y_{1},;y_{2});

    2. dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=dX(x1,x2)2+dY(y1,y2)2;{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))={sqrt {d_{X}(x_{1},;x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},;y_{2})^{2}}};}d_{{Xtimes Y}}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))={sqrt {d_{X}(x_{1},;x_{2})^{2}+d_{Y}(y_{1},;y_{2})^{2}}};

    3. dX×Y((x1,y1),(x2,y2))=max{dX(x1,x2),dY(y1,y2)}.{displaystyle d_{Xtimes Y}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=max{d_{X}(x_{1},;x_{2}),;d_{Y}(y_{1},;y_{2})}.}d_{{Xtimes Y}}((x_{1},;y_{1}),;(x_{2},;y_{2}))=max{d_{X}(x_{1},;x_{2}),;d_{Y}(y_{1},;y_{2})}.



Эти метрики эквивалентны друг другу.


Свойства |



  • Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).

  • Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.

    • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.

    • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).





Вариации и обобщения |


  • Для данного множества M{displaystyle M}M, функция d:M×M→R{displaystyle dcolon Mtimes Mto mathbb {R} }dcolon Mtimes Mto mathbb{R} называется псевдометрикой или полуметрикой на M{displaystyle M}M если для любых точек x,y,z{displaystyle x,;y,;z}x,;y,;z из M{displaystyle M}M она удовлетворяет следующим условиям:

    1. d(x,x)=0;{displaystyle d(x,;x)=0;}d(x,;x)=0;


    2. d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,;y)=d(y,;x)}d(x,;y)=d(y,;x) (симметрия);


    3. d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z)}d(x,;z)leqslant d(x,;y)+d(y,;z) (неравенство треугольника).



То есть, в отличие от метрики, различные точки в M{displaystyle M}M могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве M/∼{displaystyle M/!sim }M/!sim , где x∼y⇔d(x,y)=0{displaystyle xsim yLeftrightarrow d(x,;y)=0}xsim yLeftrightarrow d(x,;y)=0.


  • Для данного множества M{displaystyle M}M, функция d:M×M→R{displaystyle dcolon Mtimes Mto mathbb {R} }dcolon Mtimes Mto mathbb{R} называется квазиметрикой если для любых точек x,y,z{displaystyle x,;y,;z}x,;y,;z из M{displaystyle M}M она удовлетворяет следующим условиям:

    1. d(x,x)=0;{displaystyle d(x,;x)=0;}d(x,;x)=0;


    2. d(x,y)⩽c⋅d(y,x){displaystyle d(x,;y)leqslant ccdot d(y,;x)}d(x,;y)leqslant ccdot d(y,;x) (квазисимметрия);


    3. d(x,z)⩽c⋅(d(x,y)+d(y,z)){displaystyle d(x,;z)leqslant ccdot (d(x,;y)+d(y,;z))}d(x,;z)leqslant ccdot (d(x,;y)+d(y,;z)) (обобщённое неравенство треугольника).



  • Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:
    Для всех x{displaystyle x}x, y{displaystyle y}y и z{displaystyle z}z в M{displaystyle M}M d(x,z)⩽max(d(x,y),d(y,z)){displaystyle d(x,;z)leqslant max(d(x,;y),;d(y,;z))}d(x,;z)leqslant max(d(x,;y),;d(y,;z)).



  • Иногда удобно рассматривать ∞{displaystyle infty }infty -метрики, то есть метрики со значениями [0;∞]{displaystyle [0;;infty ]}[0;;infty ]. Для любой ∞{displaystyle infty }infty -метрики можно построить конечную метрику которая определяет ту же топологию. Например

    d′(x,y)=d(x,y)1+d(x,y){displaystyle d'(x,;y)={frac {d(x,;y)}{1+d(x,;y)}}}d'(x,;y)={frac {d(x,;y)}{1+d(x,;y)}} или d″(x,y)=min(1,d(x,y)).{displaystyle d''(x,;y)=min {(1,;d(x,;y))}.}d''(x,;y)=min {(1,;d(x,;y))}.


Также, для любой точки x{displaystyle x}x такого пространства, множество точек находящихся от неё на конечном расстоянии образует обычное метрическое пространство называемое метрической компонентой x{displaystyle x}x. В частности, любое пространство с ∞{displaystyle infty }infty -метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным ∞{displaystyle infty }infty .

  • Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии[1][2]. Название этого обобщения не вполне устоялось[3]. В своей книге Смит[2] назывет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.


    1. d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0}{displaystyle d(x,y)geqslant 0} (положительность)


    2. d(x,y)=0⟺x=y{displaystyle d(x,y)=0iff x=y}{displaystyle d(x,y)=0iff x=y} (положительная определённсть)


    3. d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)


    4. d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)}{displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)} (неравенство треугольника)



Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество X горных сёл, время прогулки между элементами X образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки A в точку B состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из B в A.

  • В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:

    1. d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0}{displaystyle d(x,y)geqslant 0}

    2. из d(x,y)=0{displaystyle d(x,y)=0}{displaystyle d(x,y)=0} следует x=y (но не наоборот.)

    3. d(x,y)=d(y,x){displaystyle d(x,y)=d(y,x)}{displaystyle d(x,y)=d(y,x)}


    4. d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z){displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)}{displaystyle d(x,z)leqslant d(x,y)+d(y,z)}.



Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству d(x, x)=0 для точек x на границе, но в противном случае d(x, x) примерно равно расстоянию от x до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля [4].

  • Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:

    1. d(x,y)⩾0{displaystyle d(x,y)geqslant 0}{displaystyle d(x,y)geqslant 0}

    2. d(x,x)=0{displaystyle d(x,x)=0}{displaystyle d(x,x)=0}




Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики[5] или псевдометрики[6]. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика»[7][8].

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного r определяется r-шар с центом в точке p как


Br(p)={x|d(x,p)<r}{displaystyle B_{r}(p)={x|d(x,p)<r}}{displaystyle B_{r}(p)={x|d(x,p)<r}}. Множество называется открытым, если для любой точки p в множестве существует r-шар с центром в p, который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством[en].В общем случае сами r-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами A и B определяется как

d(A,B)=infx∈A,y∈Bd(x,y){displaystyle d(A,B)=inf _{xin A,yin B}d(x,y)}{displaystyle d(A,B)=inf _{xin A,yin B}d(x,y)}.


Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к оператору предзамыкания[en] cl:

cl(A)={x|d(x,A)=0}{displaystyle cl(A)={x|d(x,A)=0}}{displaystyle cl(A)={x|d(x,A)=0}}.



  • Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые r-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество {0,1} с преметрикой, задаваемой функцией d, такой что d(0,1)=1 и d(1,0)=0. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства»[9][10]. С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Пространства подходов[en] являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.


История |


Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства[11] в связи с рассмотрением функциональных пространств.



Примечания |





  1. ↑ Steen, Seebach, 1995.


  2. ↑ 12 Smyth, 1987, с. 236–253.


  3. ↑ Rolewicz, 1987.


  4. ↑ Väisälä, 2005, с. 187–231.


  5. ↑ Булдыгин, Козаченко, 1998.


  6. ↑ Хелемский, 2004.


  7. ↑ Архангельский, Федорчук, 1988, с. 30.


  8. ↑ Pereira, Aldrovandi, 1995.


  9. ↑ Lawvere, 2002, с. 1–37.


  10. ↑ Vickers, 2005, с. 328–356.


  11. ↑ Fréchet M. Sur quelques points du calcul fonctionnel. — Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. — 1906. — 22. — pp. 1—74.




См. также |


  • Индуцированная метрика


Литература |



  • Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.


  • Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.


  • Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.


  • Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение». — 2001. — Выпуск 9.


  • Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.




-

Popular posts from this blog

Михайлов, Христо

Image
В Википедии есть статьи о других людях с фамилиями Михайлов и Попов. Христо Михайлов Попов болг. Христо Михайлов Попов Памятник в Монтане Дата рождения 18 апреля 1893 ( 1893-04-18 ) Место рождения Видин, Княжество Болгария Дата смерти 8 февраля 1944 ( 1944-02-08 ) (50 лет) Место смерти София, Третье Болгарское царство Принадлежность Болгария   Болгария Род войск сухопутные войска Годы службы 1912—1944 Звание генерал-полковник Командовал Народно-освободительная повстанческая армия Болгарии Сражения/войны Первая Балканская война Вторая Балканская война Первая мировая война Сентябрьское восстание Вторая мировая война Связи Иван Попов (брат) Дом-музей Христо Попова Христо Михайлов Попов , в Болгарии известный как Христо Михайлов , (болг. Христо Михайлов Попов ; 18 апреля 1893, Видин — 8 февраля 1944, София) — болгарский военный и государственный деятель, участник и руководитель Движения Сопротивления в Болгарии...
Read more

Центральная группа войск

Image
Центральная группа войск (ЦГВ) Эмблема ВС Годы существования 1945—1955 1968—1991 Страна СССР Подчинение МО СССР Входит в РККА (СА), Вооружённых Сил СССР. Численность превышала 300 000 человек Дислокация Австрия и Венгрия (1945—1955), Чехословакия (1968—1991) Командиры Известные командиры Командующие войсками , См. список. 9 мая в штаб-квартире ЦГВ , 1984 год. Парк в ЦГВ , 1985 год. Магазин «Детский мир» в Миловице, ЦГВ , 1985 год. Центральная группа войск (ЦГВ)  — оперативно-стратегическое объединение (группа войск) Советских ВС, дважды существовавшее в период после окончания Великой Отечественной войны: в 1945—1955 годах дислоцировалась на территории Австрии и Венгрии; в период с 24 октября 1968 по 21 июня 1991 дислоцировалась в Чехословакии. Содержание 1 Центральная группа войск (1-го формирования) 1.1 Командующие (ЦГВ 1-го формирования): 2 Центральная группа войск (2-го формирования) 3 ...
Read more

Троллейбус

Image
Троллейбус Привод Электрический двигатель Период с 1882 года Область применения общественный транспорт, городской или междугородный Инфраструктура автомобильная дорога, контактная сеть Содержание 1 Этимология 2 История 3 Инфраструктура и организация движения 3.1 Дорожная сеть 3.2 Электропитание 3.3 Контактная сеть 3.4 Остановки 3.5 Троллейбусные предприятия 3.6 Разворотные пункты 3.7 График и расписания 3.8 Скорость движения 3.9 Способы оплаты проезда 4 Подвижной состав 5 Устройство троллейбуса 5.1 Шасси и компоновка 5.1.1 Кузов 5.1.2 Салон 5.1.3 Номерной знак и маршрутоуказатели 5.2 Ходовая часть и трансмиссия 5.3 Электрооборудование 5.3.1 Тяговый электродвигатель 5.3.2 Система управления двигателем 5.3.3 Системы автономного хода 5.3.4 Вспомогательная электроаппаратура 5.3.5 Электробезопасность 5.4 Токоприёмники 5.5 Тормозная система ...
Read more