Cdtrjyty

Пересечение A{displaystyle A} и B{displaystyle B}

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств A{displaystyle A} и B{displaystyle B} обычно обозначается A∩B{displaystyle Acap B}, но в редких случаях может обозначаться AB{displaystyle AB}^[1].

Определение |

Пересечение двух множеств |

Пусть даны множества A{displaystyle A} и B{displaystyle B}. Тогда их пересечением называется множество

A∩B={x∣x∈A∧x∈B}.{displaystyle Acap B={xmid xin Awedge xin B}.}

Пересечение семейства множеств |

Пусть дано семейство множеств {Mα}α∈A.{displaystyle {M_{alpha }}_{alpha in A}.} Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства:

⋂α∈AMα={x∣∀α∈A,x∈Mα}.{displaystyle bigcap limits _{alpha in A}M_{alpha }={xmid forall alpha in A,;xin M_{alpha }}.}

Свойства |

• Пересечение множеств является бинарной операцией на произвольном булеане 2X{displaystyle 2^{X}};


• Операция пересечения множеств коммутативна
  

  A∩B=B∩A;{displaystyle Acap B=Bcap A;}

  
  


• Операция пересечения множеств ассоциативна:
  

  (A∩B)∩C=A∩(B∩C);{displaystyle (Acap B)cap C=Acap (Bcap C);}

  
  


• Операция пересечения множеств дистрибутивна относительно операции объединения:^[2]

  (⋃kAk)∩B=⋃k(Ak∩B){displaystyle left(bigcup _{k}A_{k}right)cap B=bigcup _{k}left(A_{k}cap Bright)}

  
  


• 
  Универсальное множество U{displaystyle U} является нейтральным элементом операции пересечения множеств:
  

  A∩U=A;{displaystyle Acap U=A;}

  
  


• Операция пересечения множеств идемпотентна:
  

  A∩A=A;{displaystyle Acap A=A;}

  
  


• Если ∅{displaystyle varnothing } — пустое множество, то
  

  A∩∅=∅.{displaystyle Acap varnothing =varnothing .}

  
  

Пример |

Пусть A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}.{displaystyle A={1,;2,;3,;4},;B={3,;4,;5,;6}.}
Тогда

A∩B={3,4}.{displaystyle Acap B={3,;4}.}

Примечания |

См. также |

• Операции над множествами