Cdtrjyty

Решётка (ранее использовался термин структура) — частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю (sup), так и точную нижнюю (inf) грани. Отсюда вытекает существование этих граней для любых непустых конечных подмножеств.

Примеры |

1. множество всех подмножеств данного множества, упорядоченное по включению; например: sup{{x},{x,y}}={x,y},inf{{x},{x,y}}={x}{displaystyle sup{{x},{x,y}}={x,y},inf{{x},{x,y}}={x}}, sup{{x},{y,z}}={x,y,z},inf{{x},{y,z}}=∅{displaystyle sup{{x},{y,z}}={x,y,z},inf{{x},{y,z}}=emptyset };


2. всякое линейно упорядоченное множество; причём если a⩽b{displaystyle aleqslant b}, то sup(a,b)=b,inf(a,b)=a{displaystyle sup(a,b)=b,inf(a,b)=a};


3. множество всех подпространств векторного пространства, упорядоченных по включению, где inf{displaystyle inf } — пересечение, а sup{displaystyle sup } — сумма соответствующих подпространств;


4. множество всех неотрицательных целых чисел, упорядоченных по делимости: a⩽b{displaystyle aleqslant b}, если b=ac{displaystyle b=ac} для некоторого c{displaystyle c}. Здесь sup{displaystyle sup } — наименьшее общее кратное, а inf{displaystyle inf } — наибольший общий делитель данных чисел;


5. 
   вещественные функции, определённые на отрезке [0, 1], упорядоченные условием f⩽g{displaystyle fleqslant g}, если f(t)⩽g(t){displaystyle f(t)leqslant g(t)} для всех t∈[0,1]{displaystyle tin [0,1]}. Здесь

sup(f,g)=u{displaystyle sup(f,g)=u}, где u(t)=max(f(t),g(t)){displaystyle u(t)=max(f(t),g(t))}.

Алгебраическое определение |

Решётка может быть также определена как универсальная алгебра с двумя бинарными операциями (они обозначаются ∨{displaystyle vee } и ∧{displaystyle wedge } или + и ∙), удовлетворяющая следующим тождествам

1. 
   a∨a=a{displaystyle avee a=a}
   a∧a=a{displaystyle awedge a=a} (идемпотентность)


2. 
   a∨b=b∨a{displaystyle avee b=bvee a}
   a∧b=b∧a{displaystyle awedge b=bwedge a} (коммутативность)


3. 
   (a∨b)∨c=a∨(b∨c){displaystyle (avee b)vee c=avee (bvee c)}
   (a∧b)∧c=a∧(b∧c){displaystyle (awedge b)wedge c=awedge (bwedge c)} (ассоциативность)


4. 
   a∧(a∨b)=a{displaystyle awedge (avee b)=a}
   a∨(a∧b)=a{displaystyle avee (awedge b)=a} (поглощение).

Связь между этими двумя определениями устанавливается при помощи формул:

a∨b=sup(a,b){displaystyle avee b=sup(a,b)},

a∧b=inf(a,b){displaystyle awedge b=inf(a,b)},

и обратно. При этом для любых элементов a{displaystyle a} и b{displaystyle b} эквивалентны следующие утверждения:

a⩽b{displaystyle aleqslant b};

a∧b=a{displaystyle awedge b=a};

a∨b=b{displaystyle avee b=b}.

Понятия изоморфизма решёток как универсальных алгебр и как частично упорядоченных множеств совпадают. Однако произвольное изотонное отображение решётки R{displaystyle R} в решётку R′{displaystyle R'} не обязано быть гомоморфизмом этих решёток как универсальных алгебр.

Подрешётки |

Подрешётка ― подмножество элементов решётки, замкнутое относительно операций +{displaystyle +} и ⋅{displaystyle cdot }.
Примерами подрешёток являются всякое одноэлементное подмножество решётки, идеал, фильтр, интервал.

Подрешётка A{displaystyle A} называется выпуклой, если из a,b∈A{displaystyle a,bin A} и a<c<b{displaystyle a<c<b} вытекает,
что c∈A{displaystyle cin A}. Все подрешётки выше — выпуклые.

Любое подмножество элементов цепи является её подрешёткой (не обязательно выпуклой). Все подрешётки данной решётки, упорядоченные отношением включения, образуют решётку.

История |

Появление понятия «решётка» относится к середине XIX века. Чётко его сформулировал Р. Дедекинд в работах 1894 и 1897 годов. Термин «lattice», переведённый как «структура», был введён Биркгофом в 1933 году. В настоящее время в русской терминологии (из-за многозначности слова «структура») он вытеснен переводом «решётка». Исторически роль теории решёток объясняется тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых решёток. Как самостоятельное направление алгебры эта теория сформировалась в 30-х годах XX века. Наиболее важные классы решёток, кроме дедекиндовых, — это полные решётки, дистрибутивные решётки и булевы алгебры.

См. также |

• Математическая структура


• Анализ формальных понятий


• Дистрибутивная решётка


• Булева алгебра


• Полурешётка

Ссылки |

Доступные бесплатно в интернете монографии:

• 
  Burris, Stanley N., H.P. Sankappanavar A Course in Universal Algebra. — Springer-Verlag, 1981. ISBN 3-540-90578-2.


• 
  Peter Jipsen, Henry Rose Varieties of Lattices — Lecture Notes in Mathematics 1533, Springer Verlag, 1992. ISBN 0-387-56314-8.

Элементарные тексты для обладающих малой математической культурой:

• 
  Thomas Donnellan Lattice Theory. — Pergamon, 1968.


• 
  G. Grätzer Lattice Theory: First concepts and distributive lattices. — W. H. Freeman, 1971.

Обычные введения в предмет, несколько более сложные, чем указанный выше:

• 
  B.A. Davey, H. A. Priestley Introduction to Lattices and Order. — Cambridge University Press, 2002.

Продвинутые монографии:

• 
  Garrett Birkhoff Lattice Theory. — 3rd ed. Vol. 25 of AMS Colloquium Publications. American Mathematical Society, 1967.


• 
  Robert P. Dilworth, Peter Crawley Algebraic Theory of Lattices. — Prentice-Hall, 1973. ISBN 978-0-13-022269-5.

О свободных решётках:

• 
  R. Freese, J. Jezek, J. B. Nation Free Lattices. — Mathematical Surveys and Monographs Vol. 42. Mathematical Association of America, 1985.


• 
  P.T. Johnstone Stone spaces. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics 3. Cambridge University Press, 1982.

Литература |

• 
  Биркгоф Г. Теория структур / Пер. с англ. — М., 1952;


• 
  Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970;


• 
  Житомирский Г. И. // Упорядоченные множества и решётки. — Саратов, 1981;


• 
  Гретцер Г. Общая теория решёток / Пер. с англ. — М., 1982.