Cdtrjyty

Определение |

Левый идеал кольца R{displaystyle R} называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом a{displaystyle a}.
Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения lidR⁡a{displaystyle mathop {mathrm {lid} } _{R}a},
ridR⁡a{displaystyle mathop {mathrm {rid} } _{R}a}, idR⁡a{displaystyle mathop {mathrm {id} } _{R}a} для левых, правых
и двусторонних главных идеалов соответственно.

Если R{displaystyle R} — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый a{displaystyle a}, обозначают через (a){displaystyle (a)}.

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

• 
  lidR⁡a=Ra={ra:r∈R}{displaystyle mathop {mathrm {l,id} } _{R}a=Ra={ra:rin R}}.


• 
  ridR⁡a=aR={ar:r∈R}{displaystyle mathop {mathrm {r,id} } _{R}a=aR={ar:rin R}}.


• 
  idR⁡a=RaR={r1ar1′+r2ar2′+⋯+rnarn′:r1,r1′,…,rn,rn′∈R}{displaystyle mathop {mathrm {id} } _{R}a=RaR={r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+dots +r_{n}ar'_{n}:r_{1},r'_{1},dots ,r_{n},r'_{n}in R}}.

Если же R{displaystyle R} — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

• 
  lidR⁡a=Ra+Za={ra+ma:r∈R,m∈Z}{displaystyle mathop {mathrm {l,id} } _{R}a=Ra+mathbb {Z} a={ra+ma:rin R,min mathbb {Z} }}.


• 
  ridR⁡a=aR+Za={ar+ma:r∈R,m∈Z}{displaystyle mathop {mathrm {r,id} } _{R}a=aR+mathbb {Z} a={ar+ma:rin R,min mathbb {Z} }}.


• 
  idR⁡a=RaR+aR+Ra+Za={r1ar1′+r2ar2′+⋯+rnarn′+ar′+r″a+ma:r′,r″,r1,r1′,…,rn,rn′∈R,m∈Z}{displaystyle mathop {mathrm {id} } _{R}a=RaR+aR+Ra+mathbb {Z} a={r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},dots ,r_{n},r'_{n}in R,min mathbb {Z} }}.

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо C[x,y]{displaystyle mathbb {C} [x,y]} многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных x{displaystyle x} и y{displaystyle y}. Идеал (x,y){displaystyle (x,y)}, порождённый многочленами x{displaystyle x} и y{displaystyle y}, (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом a∈C[x,y]{displaystyle ain mathbb {C} [x,y]}; тогда на него должны делиться x{displaystyle x} и y{displaystyle y}. Это возможно, только если a{displaystyle a} — ненулевая константа. Но в (x,y){displaystyle (x,y)}только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определения |

• Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.


• 
  Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Примеры |

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов a{displaystyle a} и b{displaystyle b} как порождающий элемент идеала (a,b){displaystyle (a,b)}.

Литература |

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.