Плоский модуль
Плоский модуль над кольцом R — это такой модуль, что тензорное умножение на этот модуль сохраняет точные последовательности. Модуль называется строго плоским, если последовательность тензорных произведений точна тогда и только тогда, когда точна исходная последовательность.
Векторные пространства, свободные и, более общо, проективные модули являются плоскими. Для конечнопорождённых модулей над нётеровыми кольцами плоские модули — то же самое, что проективные модули. Для конечнопорождённых модулей над локальными кольцами все плоские модули свободны.[1]
Понятие плоского модуля было введено Серром в 1955 году.
Содержание
1 Определение
2 Свойства плоских модулей над коммутативным кольцом
3 Категорные копределы
4 Гомологическая алгебра
5 Плоские резольвенты
6 Примечания
7 Литература
Определение |
Можно дать несколько эквивалентных определений плоского модуля.
- (Левый) R{displaystyle R}
-модуль M{displaystyle M}
называется плоским тогда и только тогда, когда функтор N↦M⊗RN{displaystyle Nmapsto Motimes _{R}N}
является точным.
- Поскольку функтор тензорного произведения всегда точен справа, предыдущее требование можно ослабить. А именно, R{displaystyle R}
индуцированное отображение FM(ϕ):M⊗RK→M⊗RL{displaystyle F_{M}(phi ):Motimes _{R}Kto Motimes _{R}L}
также инъективно.
- Модуль M{displaystyle M}
) индуцированное отображение I⊗RM→R⊗RM≅M{displaystyle Iotimes _{R}Mto Rotimes _{R}Mcong M}
инъективно.
Свойства плоских модулей над коммутативным кольцом |
Для любой мультипликативной системы S кольца R кольцо частных S−1R является плоским R-модулем.
Конечнопорождённый модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является локально свободным. Локально свободный модуль над кольцом R — это такой модуль M, что его локализация по любому простому идеалу Mp{displaystyle M_{mathfrak {p}}}
Если кольцо S является R-алгеброй, то есть существует гомоморфизм f:R→S{displaystyle f:Rto S}
Плоские модули можно указать на следующей цепочке включений:
Модули без кручения ⊃ плоские модули ⊃ проективные модули ⊃ свободные модули.
Для некоторых классов колец верны и обратные включения: например, каждый модуль без кручения над дедекиндовым кольцом является плоским, плоский модуль над артиновым кольцом является проективным и проективный модуль над областью главных идеалов (или над локальным кольцом) является свободным.
Категорные копределы |
Прямые суммы и прямые пределы плоских модулей являются плоскими. Это следует из того факта, что тензорное произведение коммутирует с прямыми суммами и прямыми пределами (более того, оно коммутирует со всеми копределами). Подмодули и фактормодули плоского модуля не обязательно являются плоскими (например, плоским не является модуль Z/2Z). Однако если подмодуль плоского модуля является в нём прямым слагаемым, то фактор по нему является плоским.
Модуль является плоским тогда и только тогда, когда он является прямым пределом конечнопорождённых свободных модулей.[2] Из этого следует, в частности, что каждый конечно представленный плоский модуль является проективным.
Гомологическая алгебра |
Свойство «плоскости» модуля можно выразить при помощи функтора Tor, левого производного функтора для тензорного произведения. Левый R-модуль M является плоским тогда и только тогда, когда TornR(-, M) = 0 для всех n≥1{displaystyle ngeq 1}
- Если A и C плоские, то и B плоский.
- Если B и C плоские, то и A плоский.
Если A и B плоские, C в общем случае не является плоским. Однако
- Если A — прямое слагаемое модуля B и B плоский, то A и C плоские.
Плоские резольвенты |
Плоская резольвента модуля M — это резольвента вида
- … → F2 → F1 → F0 → M → 0
где все Fi плоские. Плоские резольвенты используются при вычислении функтора Tor.
Длина плоской резольвенты — это наименьший индекс n, такой что Fn не равен нулю Fi=0 для всех i, большах n. Если модуль M допускает конечную плоскую резольвенту, её длина называется плоской размерностью модуля.[3], в противном случае говорят, что плоская размерность бесконечна. Например, если модуль M имеет плоскую размерность 0, то из точности последовательности 0 → F0 → M → 0 следует, что M изоморфен F0, то есть является плоским.
Примечания |
↑ Matsumura, 1970, Proposition 3.G
↑ Lazard, D. (1969), "Autour de la platitude", Bulletin de la Société Mathématique de France Т. 97: 81–128, <http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1969__97__81_0>
↑ Lam, 1999, p. 183.
Литература |
- Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М: Мир, 1971.
Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1; 978-0-387-94269-8
Enochs, Edgar E. (1981), "Injective and flat covers, envelopes and resolvents", Israel J. Math. Т. 39 (3): 189–209, ISSN 0021-2172, DOI 10.1007/BF0276084
Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5
Mac Lane, Saunders (1963), Homology, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Boston, MA: Academic Press
Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra
Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique", Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier Т. 6: 1–42, ISSN 0373-0956, doi:10.5802/aif.59, <http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0>
