Cdtrjyty

Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества A{displaystyle A}, обозначается P(A){displaystyle {mathcal {P}}(A)} или 2A{displaystyle 2^{A}} (так как оно соответствует множеству отображений из A{displaystyle A} в {0,1}{displaystyle {0,1}}).

Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции κ↦2κ{displaystyle kappa mapsto 2^{kappa }} для кардиналов) является независимым от ZFC.

В категории множеств можно снабдить функцию P{displaystyle {mathcal {P}}} структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом:

• ковариантный функтор отображает функцию f:A→B{displaystyle fcolon Ato B} в функцию Pf:PA→PB{displaystyle {mathcal {P}}fcolon {mathcal {P}}Ato {mathcal {P}}B} такую, что она отображает X{displaystyle X} в образ X{displaystyle X} относительно f{displaystyle f};


• контравариантный функтор отображает функцию f:A→B{displaystyle fcolon Ato B} в Pf:PB→PA{displaystyle {mathcal {P}}fcolon {mathcal {P}}Bto {mathcal {P}}A} такую, что она отображает X{displaystyle X} в полный прообраз X{displaystyle X} относительно f{displaystyle f}.

Открытая математическая проблема: cуществуют ли такие бесконечные множества A{displaystyle A} и B{displaystyle B}, что мощность множества A{displaystyle A} меньше мощности множества B{displaystyle B} и мощность множества B{displaystyle B} меньше мощности множества всех подмножеств множества A{displaystyle A}: |A|<|B|<|2A|{displaystyle |A|<|B|<|2^{A}|} ?^[1]

Мощность конечного булеана |

Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из n{displaystyle n} элементов, равно 2n{displaystyle 2^{n}}. Результат доказывается методом математической индукции. В базе, у пустого множества ∅{displaystyle varnothing }(n=0{displaystyle n=0}) только одно подмножество — оно само, и 20=1{displaystyle 2^{0}=1}. На шаге индукции утверждение считается установленным для множеств мощности n{displaystyle n} и рассматривается произвольное множество M{displaystyle M} с кардинальным числом n+1{displaystyle n+1}; зафиксировав некоторый элемент a0∈M{displaystyle a_{0}in M}, подмножества множества M{displaystyle M} разделяются на два семейства:

1. 
   M1{displaystyle M_{1}}, содержащие a0{displaystyle a_{0}},


2. 
   M2{displaystyle M_{2}}, не содержащие a0{displaystyle a_{0}}, то есть являющиеся подмножествами множества M∖{a0}{displaystyle Msetminus {a_{0}}}.

Подмножеств второго типа по предположению индукции 2n{displaystyle 2^{n}}, подмножеств первого типа ровно столько же, так как подмножество такого типа получается из некоторого и притом единственного подмножества второго типа добавлением элемента a0{displaystyle a_{0}} и, следовательно:

2M=M1⋃M2{displaystyle 2^{M}=M_{1}bigcup M_{2}} и M1⋂M2=∅{displaystyle M_{1}bigcap M_{2}=varnothing }.

По индукционному предположению |M1|=2n{displaystyle left|M_{1}right|=2^{n}} и |M2|=2n{displaystyle left|M_{2}right|=2^{n}}, то есть:

|2M|=|M1|+|M2|=2n+2n=2n+1=2|M|{displaystyle left|2^{M}right|=left|M_{1}right|+left|M_{2}right|=2^{n}+2^{n}=2^{n+1}=2^{left|Mright|}}.

См. также |

• Аксиома булеана


• Теорема Кантора


• Континуум-гипотеза

Примечания |

Литература |

• Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.