Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества A{displaystyle A}, обозначается P(A){displaystyle {mathcal {P}}(A)} или 2A{displaystyle 2^{A}} (так как оно соответствует множеству отображений из A{displaystyle A} в {0,1}{displaystyle {0,1}}).
Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции κ↦2κ{displaystyle kappa mapsto 2^{kappa }} для кардиналов) является независимым от ZFC.
В категории множеств можно снабдить функцию P{displaystyle {mathcal {P}}} структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом:
ковариантный функтор отображает функцию f:A→B{displaystyle fcolon Ato B} в функцию Pf:PA→PB{displaystyle {mathcal {P}}fcolon {mathcal {P}}Ato {mathcal {P}}B} такую, что она отображает X{displaystyle X} в образ X{displaystyle X} относительно f{displaystyle f};
контравариантный функтор отображает функцию f:A→B{displaystyle fcolon Ato B} в Pf:PB→PA{displaystyle {mathcal {P}}fcolon {mathcal {P}}Bto {mathcal {P}}A} такую, что она отображает X{displaystyle X} в полный прообраз X{displaystyle X} относительно f{displaystyle f}.
Открытая математическая проблема: cуществуют ли такие бесконечные множества A{displaystyle A} и B{displaystyle B}, что мощность множества A{displaystyle A} меньше мощности множества B{displaystyle B} и мощность множества B{displaystyle B} меньше мощности множества всех подмножеств множества A{displaystyle A}: |A|<|B|<|2A|{displaystyle |A|<|B|<|2^{A}|} ?[1]
Содержание
1Мощность конечного булеана
2См. также
3Примечания
4Литература
Мощность конечного булеана |
Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из n{displaystyle n} элементов, равно 2n{displaystyle 2^{n}}. Результат доказывается методом математической индукции. В базе, у пустого множества ∅{displaystyle varnothing }(n=0{displaystyle n=0}) только одно подмножество — оно само, и 20=1{displaystyle 2^{0}=1}. На шаге индукции утверждение считается установленным для множеств мощности n{displaystyle n} и рассматривается произвольное множество M{displaystyle M} с кардинальным числом n+1{displaystyle n+1}; зафиксировав некоторый элемент a0∈M{displaystyle a_{0}in M}, подмножества множества M{displaystyle M} разделяются на два семейства:
M2{displaystyle M_{2}}, не содержащие a0{displaystyle a_{0}}, то есть являющиеся подмножествами множества M∖{a0}{displaystyle Msetminus {a_{0}}}.
Подмножеств второго типа по предположению индукции 2n{displaystyle 2^{n}}, подмножеств первого типа ровно столько же, так как подмножество такого типа получается из некоторого и притом единственного подмножества второго типа добавлением элемента a0{displaystyle a_{0}} и, следовательно:
2M=M1⋃M2{displaystyle 2^{M}=M_{1}bigcup M_{2}} и M1⋂M2=∅{displaystyle M_{1}bigcap M_{2}=varnothing }.
По индукционному предположению |M1|=2n{displaystyle left|M_{1}right|=2^{n}} и |M2|=2n{displaystyle left|M_{2}right|=2^{n}}, то есть:
В Википедии есть статьи о других людях с фамилиями Михайлов и Попов. Христо Михайлов Попов болг. Христо Михайлов Попов Памятник в Монтане Дата рождения 18 апреля 1893 ( 1893-04-18 ) Место рождения Видин, Княжество Болгария Дата смерти 8 февраля 1944 ( 1944-02-08 ) (50 лет) Место смерти София, Третье Болгарское царство Принадлежность Болгария Болгария Род войск сухопутные войска Годы службы 1912—1944 Звание генерал-полковник Командовал Народно-освободительная повстанческая армия Болгарии Сражения/войны Первая Балканская война Вторая Балканская война Первая мировая война Сентябрьское восстание Вторая мировая война Связи Иван Попов (брат) Дом-музей Христо Попова Христо Михайлов Попов , в Болгарии известный как Христо Михайлов , (болг. Христо Михайлов Попов ; 18 апреля 1893, Видин — 8 февраля 1944, София) — болгарский военный и государственный деятель, участник и руководитель Движения Сопротивления в Болгарии
Гороховецкий артиллерийский научно-испытательный опытный полигон — главный артиллерийский полигон Вооружённых Сил Российской Федерации, расположенный в районе посёлка Мулино. Крупнейший полигон в Европе. Организован в начале 1930-х годов как филиал Артиллерийского научно-исследовательского опытного полигона (бывшего Охтинского опытного поля под Санкт-Петербургом), находится на территории Мулинского сельсовета Володарского района Нижегородской области, МО Куприяновское Гороховецкого района Владимирской области, город Гороховец. Также имел наименование — Гороховецкий учебно-артиллерийский лагерь , Мулинский полигон . История | Учебные стрельбы артиллерийских подразделений 3-й мотострелковой дивизии 22 февраля 2017. В конце XIX — начале XX века в леса возле деревни Мулино приезжали на летние лагеря солдаты русской армии, проходившие здесь полевую выучку. В 1928 году здесь побывал нарком обороны СССР К. Е. Ворошилов. Он выбрал земли, непригодные для земледелия (северо-во
Центральная группа войск (ЦГВ) Эмблема ВС Годы существования 1945—1955 1968—1991 Страна СССР Подчинение МО СССР Входит в РККА (СА), Вооружённых Сил СССР. Численность превышала 300 000 человек Дислокация Австрия и Венгрия (1945—1955), Чехословакия (1968—1991) Командиры Известные командиры Командующие войсками , См. список. 9 мая в штаб-квартире ЦГВ , 1984 год. Парк в ЦГВ , 1985 год. Магазин «Детский мир» в Миловице, ЦГВ , 1985 год. Центральная группа войск (ЦГВ) — оперативно-стратегическое объединение (группа войск) Советских ВС, дважды существовавшее в период после окончания Великой Отечественной войны: в 1945—1955 годах дислоцировалась на территории Австрии и Венгрии; в период с 24 октября 1968 по 21 июня 1991 дислоцировалась в Чехословакии. Содержание 1 Центральная группа войск (1-го формирования) 1.1 Командующие (ЦГВ 1-го формирования): 2 Центральная группа войск (2-го формирования) 3
в функцию Pf:PA→PB{displaystyle {mathcal {P}}fcolon {mathcal {P}}Ato {mathcal {P}}B}
такую, что она отображает X{displaystyle X}
в образ X{displaystyle X}
;
такую, что она отображает X{displaystyle X}
, содержащие a0{displaystyle a_{0}}
,
, не содержащие a0{displaystyle a_{0}}
.
и M1⋂M2=∅{displaystyle M_{1}bigcap M_{2}=varnothing }
.
.
