Cdtrjyty

Факторкольцо́ — общеалгебраическая конструкция, позволяющая распространить на случай колец конструкцию факторгруппы. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась идеалом.

Определение |

Пусть I{displaystyle I} — двусторонний идеал кольца R{displaystyle R}. Определим на R{displaystyle R} отношение эквивалентности:

a∼b{displaystyle asim b} тогда и только тогда, когда a−b∈I.{displaystyle a-bin I.}

Класс эквивалентности элемента a{displaystyle a} обозначается как [a]{displaystyle [a]} или a+I{displaystyle a+I} и называется классом смежности по модулю идеала. Факторкольцо R/I{displaystyle R/I} — это множество классов смежности элементов R{displaystyle R} по модулю I{displaystyle I}, на котором следующим образом определены операции сложения и умножения:

(a+I)+(b+I)=(a+b)+I{displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}

(a+I)⋅(b+I)=ab+I{displaystyle (a+I)cdot (b+I)=ab+I}

Легко проверить, что эти операции определены корректно, то есть не зависят от выбора конкретного представителя a{displaystyle a} класса смежности a+I{displaystyle a+I}. Например, корректность умножения проверяется следующим образом: пусть a2=a+i1,b2=b+i2,i1,2∈I{displaystyle a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},;i_{1,2}in I}. Тогда a2b2=(a+i1)(b+i2)=ab+i1b+ai2+i1i2∈ab+I{displaystyle a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}in ab+I}. В последнем шаге доказательства использовалась замкнутость идеала относительно умножения на элемент кольца (как слева, так и справа) и замкнутость относительно сложения.

Связанные теоремы |

• 
  Теорема о гомоморфизме колец:

Если f{displaystyle f} — сюръективный гомоморфизм кольца K{displaystyle mathrm {K} } на кольцо R{displaystyle mathrm {R} }, то ядро kerf{displaystyle ker ,f} является идеалом кольца K{displaystyle mathrm {K} }, причём кольцо R{displaystyle mathrm {R} } изоморфно факторкольцу K/kerf{displaystyle mathrm {K} /ker ,f}.

Обратно: если J{displaystyle mathrm {J} } — идеал кольца K{displaystyle mathrm {K} }, то отображение f:K→K/J{displaystyle f:mathrm {K} to mathrm {K/J} }, определяемое условием f(a)=a+J,∀a∈K{displaystyle f(a)=a+mathrm {J} ,forall ain mathrm {K} } является гомоморфизмом кольца J{displaystyle mathrm {J} } на K/J{displaystyle mathrm {K/J} } с ядром J{displaystyle mathrm {J} }.

Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.

• Идеал J{displaystyle mathrm {J} } кольца K{displaystyle mathrm {K} } является простым (максимальным) в том и только в том случае, когда факторкольцо K/J{displaystyle mathrm {K/J} } является целостным кольцом (полем).


• Согласно китайской теореме об остатках, если I1,I2,…In{displaystyle I_{1},I_{2},ldots I_{n}} — попарно взаимно простые идеалы (то есть сумма любых двух из них равна всему кольцу), то факторкольцо по их произведению (или, эквивалентно, по их пересечению) изоморфно произведению факторов вида R/(Ii){displaystyle R/(I_{i})}.

Примеры |

• 
  Пусть Z{displaystyle mathbb {Z} } — кольцо целых чисел, nZ{displaystyle nmathbb {Z} } — идеал, состоящий из чисел, кратных n{displaystyle n}. Тогда Z/nZ{displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } — конечное кольцо вычетов по модулю n{displaystyle n}. Такое кольцо также обозначается Zn{displaystyle mathbb {Z} _{n}} или Z/(n){displaystyle mathbb {Z} /(n)}.^[1]
  


• Рассмотрим кольцо многочленов с действительными коэффициентами R[x]{displaystyle mathbb {R} [x]} и идеал, состоящий из многочленов, кратных x2+1{displaystyle x^{2}+1}. Факторкольцо R[x]/(x2+1){displaystyle mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)} изоморфно полю комплексных чисел: класс [x]{displaystyle [x]} соответствует мнимой единице. Действительно, в факторкольце элементы x2+1{displaystyle x^{2}+1} и 0{displaystyle 0} эквивалентны, то есть x2=−1{displaystyle x^{2}=-1}.


• Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используют для построения расширений полей. Пусть K{displaystyle K} — некоторое поле и f(x){displaystyle f(x)} — неприводимый многочлен в K[x]{displaystyle K[x]}. Тогда K[x]/(f(x)){displaystyle K[x]/(f(x))} является полем, и это поле содержит по крайней мере один корень многочлена f(x){displaystyle f(x)} — класс смежности элемента x{displaystyle x}.


• Важный пример использования предыдущей конструкции — построение конечных полей. Рассмотрим конечное поле Z/2Z{displaystyle mathbb {Z} /2mathbb {Z} } из двух элементов (которое в этом контексте обычно обозначается как F2{displaystyle mathbb {F} _{2}}). Многочлен x2+x+1{displaystyle x^{2}+x+1} неприводим над этим полем (так как не имеет корней), следовательно, факторкольцо F2[x]/(x2+x+1){displaystyle mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2}+x+1)} является полем. Это поле состоит из четырёх элементов: 0, 1, x и x+1. Все конечные поля можно построить аналогичным образом.

Примечания |

В этой статье или разделе имеется список источников или внешних ссылок, но источники отдельных утверждений остаются неясными из-за отсутствия сносок. Утверждения, не подкреплённые источниками, могут быть поставлены под сомнение и удалены. Вы можете улучшить статью, внеся более точные указания на источники.

Литература |

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.


• М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.


• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8.