Cdtrjyty

Идемпоте́нтность — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат, что и при первом. Термин предложил американский математик Бенджамин Пирс (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов. Пирс получил термин путём комбинации двух латинских слов: «idem» («тот же самый») и «potens» («способный»).

Примеры идемпотентных операций:

• 
  сложение с нулём: a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=...;{displaystyle a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=...;}
  


• 
  умножение на единицу: x=x∗1=(x∗1)∗1=((x∗1)∗1)∗1=...;{displaystyle x=x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=...;}
  


• 
  модуль числа: |x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=...;{displaystyle |x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=...;}
  


• 
  поиск максимального значения: max(x,y)=max(max(x,y),y)=max(x,max(x,y));{displaystyle max(x,y)=max(max(x,y),y)=max(x,max(x,y));}
  


• вычисление наибольшего общего делителя: gcd⁡(x,y)=gcd⁡(gcd⁡(x,y),y)=gcd⁡(x,gcd⁡(x,y));{displaystyle operatorname {gcd} (x,y)=operatorname {gcd} (operatorname {gcd} (x,y),y)=operatorname {gcd} (x,operatorname {gcd} (x,y));}
  


• 
  сложение по модулю 2 с нулём: a=a⊕0=(a⊕0)⊕0=...;{displaystyle a=aoplus 0=(aoplus 0)oplus 0=...;}
  


• нахождение остатка от деления: r=amodb=(amodb)modb=....{displaystyle r=amod b=(amod b)mod b=....}
  


• 
  возведение в степень ноль: a0=(a0)0=((a0)0)0...{displaystyle a^{0}=(a^{0})^{0}=((a^{0})^{0})^{0}...}
  


• 
  конъюнкция или дизъюнкция элемента с самим собой:a=a∧a=(a∧a)∧a=((a∧a)∧a)∧a...{displaystyle a=aland a=(aland a)land a=((aland a)land a)land a...} или a=a∨a=(a∨a)∨a=((a∨a)∨a)∨a...{displaystyle a=alor a=(alor a)lor a=((alor a)lor a)lor a...}
  

Элемент |

Идемпотентный элемент (идемпотент) в алгебре — элемент полугруппы, сохраняющийся при умножении самого на себя: e2=e.{displaystyle e^{2}=e.} Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент e{displaystyle e} содержит идемпотентный элемент f{displaystyle f} (обозначается e⩾f{displaystyle egeqslant f}), если ef=e=fe.{displaystyle ef=e=fe.} Отношение ⩾{displaystyle geqslant } является отношением частичного порядка в множестве E{displaystyle E} идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве E.{displaystyle E.}

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) u{displaystyle u} и v{displaystyle v} называются ортогональными, если uv=0=vu.{displaystyle uv=0=vu.}

Операция |

В математике |

Идемпотентная бинарная операция в математике — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью в вышеназванном смысле:

∀x:x⋅x=x.{displaystyle forall x:quad xcdot x=x!.}

Этим свойством обладают, например, логическое И и логическое ИЛИ.

Идемпотентная унарная операция — операция, для которой выполняется

∀x:f(f(x))=f(x){displaystyle forall x:f(f(x))=f(x)}, или f∘f=f.{displaystyle fcirc f=f.}

Из линейных операторов в Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}} идемпотентны только тождественный оператор, нулевой оператор и параллельная проекция. Поэтому проектор в алгебре — в том числе в бесконечномерных пространствах — определяется как P∘P=P.{displaystyle Pcirc P=P.}

В информатике |

Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.

Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP. По спецификации, сервер должен возвращать одни и те же ответы на идентичные запросы (при условии, что ресурс не изменился между ними по иным причинам). Такая особенность позволяет кэшировать ответы, снижая нагрузку на сеть.

Для препроцессора языка C директива «#include "xxx.h"» является идемпотентной, если в заголовочном файле есть защита от двойного включения.

Литература |

• Peirce B. Linear Associative Algebra. 1870.


• 
  Gunawardena, Jeremy (1998), "An introduction to idempotency", in Gunawardena, Jeremy, Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994, Cambridge: Cambridge University Press, с. 1–49, <http://www.hpl.hp.com/techreports/96/HPL-BRIMS-96-24.pdf> 
  


• 
  Idempotent. Encyclopedia of Mathematics. Springer (Translation of Soviet Mat. Enc.).


• Иванова О. А. Идемпотент // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.