Единица (алгебра)
Единица в теории колец — двусторонний нейтральный элемент операции умножения. Кольцо, содержащее единицу, называется кольцом с единицей. Обозначается единица, как правило, цифрой «1» (что отражает таковые свойства одноимённого числа) или иногда (например, в матричной алгебре), латинской буквой I или E.
Разные определения алгебраических объектов могут как требовать наличие единицы, так и оставлять её необязательным элементом. Односторонний нейтральный элемент единицей не называется. Единица единственна по общему свойству двустороннего нейтрального элемента.
Иногда единицами кольца называют его обратимые элементы, что может вносить путаницу.
Содержание
1 Единица, нуль и теория категорий
1.1 Обратимость
1.2 Идемпотентность
2 Добавление единицы
3 В градуированных алгебрах
4 Примеры
Единица, нуль и теория категорий |
В зависимости от алгебраической структуры и её точного определения равенство 1 = 0 может быть как запрещено, так и разрешено, однако там, где такое равенство имеет место, объект тривиален. Поле имеет единицу по определению и требуется 1 ≠ 0, так что всякое поле содержит как минимум два различных элемента. В категории Ring колец с единицей тривиальное кольцо является терминальным объектом.
Единица является единственным элементом кольца как идемпотентным, так и обратимым.
Обратимость |
Обратимым называется всякий элемент u кольца с единицей, являющийся двусторонним делителем единицы, то есть:
- ∃v1:v1u=1{displaystyle exists v_{1}:v_{1},u=1}
- ∃v2:uv2=1{displaystyle exists v_{2}:u,v_{2}=1}
Из ассоциативности умножения следует, что в таком случае v1 = v2, откуда опять-таки следует, что выбор единственен.
Обратимые элементы иногда называют алгебраическими единицами (англ. unity, фр. unité), но это понятие шире, нежели конкретный нейтральный элемент 1. Например, в поле обратим всякий элемент, отличный от нуля.
Идемпотентность |
Если e∈R{displaystyle ein R}
Добавление единицы |
Любую алгебру над коммутативным кольцом, даже не обязательно ассоциативную, можно расширить на одну размерность, добавив элемент 1 и определив умножение на линейных комбинациях как:
- (a1+μ11)(a2+μ21)=a1a2+μ1a2+μ2a1+μ1μ21{displaystyle (a_{1}+mu _{1}{mathbf {1} })(a_{2}+mu _{2}{mathbf {1} })=a_{1}a_{2}+mu _{1}a_{2}+mu _{2}a_{1}+mu _{1}mu _{2}{mathbf {1} }}
с сохранением таких свойств как ассоциативность и коммутативность умножения. Элемент 1 будет являться единицей расширенной алгебры. Если в алгебре уже была единица, то после расширения она превратится в необратимый идемпотент.
С кольцом такое тоже можно проделать, например потому, что всякое кольцо является ассоциативной алгеброй над Z{displaystyle mathbb {Z} }
В градуированных алгебрах |
В градуированной алгебре, единица (если существует) обязана иметь степень 0.
Примеры |
1 (число): в целых, рациональных, действительных, и других числах
Единичная матрица: см. умножение матриц
Тождественный оператор в операторных алгебрах
- Многочлен 1 (нулевой степени) в кольце многочленов
